試卷測驗 - 112 年 - 112 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選：數學科#114718-阿摩線上測驗

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阿摩：得意不忘形，失意不變形。

8分

(37 秒)

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試卷測驗 - 112 年 - 112 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選：數學科#114718

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1(A).

1. 試求行列式 =？
(A)-1
(B)0
(C)1
(D)4095

2(　).

X

2. 求最大的整數n使得也是整數？
(A)1217
(B)4501
(C)603
(D)425。

3(　).

X

3. 求曲線x²+xy+y²=3在點(1,1)上的切線方程式？
(A)-2x+y=-1
(B)x+y=2
(C)x+3y=4
(D)2x+y=3

4(　).

X

4. 試求 =？
(A)
(B)
(C)
(D)

5(　).

X

5. 求 =?
(A)30
(B)90
(C)10
(D)110

6(　).

X

6. 如果複數ω= ，則(ω⁵+ω⁴+5)(-3ω²+2ω+2)(3ω²-ω+3)=?
(A)80ω+1
(B)80
(C)75ω²
(D)75

7(　).

X

7. 甲、乙、丙三人到迴轉壽司餐廳用餐。餐廳現有 10 種壽司，每種壽司僅剩 2 盤。假設每種壽司每個人至多只能拿 1 盤，用餐完後發現每種壽司都至少有人拿了 1 盤。試問三人拿取壽司的組合共有多少種？
(A)2¹⁰
(B)6¹⁰
(C)7¹⁰
(D)8¹⁰

8(　).

X

8. 觀察 2 的次方所形成的等比數列：2, 2² , 2³ , 2⁴ , …，設其中出現的第一個 13 位數為2ⁿ，則n =？
(A)40
(B)41
(C)42
(D)43

9(　).

X

9. 現有 A、B 兩箱，其中 A 箱中有一紅球二白球，B 箱中有一白球，每球被取到的機率相同。每一回合做如下的操作：自 A 箱中隨機取兩球放入 B 箱中，再從 B 箱中隨機取兩球放入 A 箱。以「紅球在 A 箱」為狀態一、「紅球在 B 箱」為狀態二。試選出正確的選項。
(A)第一回合結束後，紅球在 A 箱的機率為
(B)第一回合結束後，紅球在 B 箱的機率為
(C)第二回合結束後，紅球在 A 箱的機率為
(D)第三回合結束時，紅球在 A 箱的機率為

10(　).

X

10. 實係數多項式f(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d，已知f(x)=0沒有實根，若α, β, γ , δ為f(x)=0的四個複數根，且α+β =3-2i，γδ =4+i，則下列哪些正確？
(A)a=-6
(B)b=20
(C)c=-28
(D)d=17

11(　).

X

11. 某老師班上 40 人期末考數學成績 x₁, x₂, … , x₄₀，算術平均數 μ_x = 25 分，標準差 σ_x = 9 分，因為成績太低，老師想幫每位同學調整分數，老師提出兩種方案：

方案甲：每位同學都以 y_i= 2x_i + 15 方式調分（調分後沒有超過 100 分的情形）

方案乙：每位同學都以

方式調分（調分後沒有超過 100 分的情形）

試根據以上資料選出正確的選項。
(A)若採方案乙，原始分數超過 75 分的學生，調整之後的新分數反而會降低
(B)原始成績與方案甲成績的相關係數＞原始成績與方案乙成績的相關係數
(C)若將全班的原始分數都標準化為 z 分數（

），則 z₁² + z₂² + … + z₄₀² = 1
(D)若有一位學生的原始分數為 25 分，但發現他作弊之後將他成績移除，則剩下的人採方案甲調整後分數的平均會高於採方案乙調整後分數的平均。

12(　).

X

12. 坐標平面上，設O(0,0)、 A(a₁,a₂)、 B(b₁,b₂), ，若 =2，且相異兩點C D,滿足，其中k ≠1為一實數。試選出正確的選項。
(A)若O ,A ,D三點共線，則k = 2
(B)
(C)△ABD面積與k無關
(D) △ACD面積與k無關。

【非選題】

一、填充題
1.設L₁ : x+y=0， L₂:，點P(1,1)對L₁鏡射後得點Q，再對L₂鏡射，得點R之坐標_________。

【非選題】

2.若a為實數，A=，且A³=I，試求：A+2A²+3A³+...+20A²⁰=________。

【非選題】

3.連續投擲一枚均勻的硬幣10次，令隨機變數X代表正面出現的次數。若X的算術平均數為μ，標準差為σ，則X 會落在與其平均相距小於或等於一個標準差範圍內的機率P(μ-σ≤X≤μ+σ)為何？_________。

【非選題】

4.若x∈R，滿足6x24^x-2x27^x+3x16^x-18^x=0，則=________。

【非選題】

5.，求=_________。

【非選題】

6.若實數x 、 y 、 z滿足，求x+y+z=_______

【非選題】
7.設f(x)為多項式函數，若x³f(x)除以(3x-2)的餘式為6，則x²f(x)除以(3x-2)的餘式為_________。

【非選題】
8.已知a > 0是無理數，若P=a³+3a²-16a+6， Q=a²-2a，且P、Q皆為有理數，則a =________。

【非選題】

9.將邊長為2的正立方體放置於空間坐標系中，如圖，O 為原點，點A、B、C分別是其三稜上的中點。若通過A、B、C 三點的平面與此正立方體截痕形狀的圖形為一五邊形，則另外兩點的坐標分別為_________。

【非選題】
二、計算證明題

1.將長

=240，寬

=288的長方形紙張對摺，讓頂點C剛好落在線段

的中點M上，如下圖所示。若

是摺線，則摺線

的長度為多少？

【非選題】

2.求=________

【非選題】

3.空間中三個非零向量滿足∠AOB=30°，∠BOC=45°及∠COA=60°，令θ為平面AOB與平面BOC的兩面角，試求｜cosθ｜=？