106年 - 2017年第18屆亞洲物理奧林匹亞競賽及第48屆國際物理奧林匹亞競賽-國家代表隊初選試題#97832

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二、一個發球器垂直向上以等時間間距T_o、相同初速連續發射出六顆球。當第一顆球恰達到最高點時,第一與第六顆球之間的距離為H,求此時第六顆球的速率為__ (3)__(忽略空氣摩擦力的影響)

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六、考慮一剛性金屬棒,以60°斜角, 固定於兩垂直牆面之間,如圖6所示。將一小環套在此棒上,金屬環連接一條弦,弦長l固定。弦下方連接一球,球的質量為M。假設弦的質量可以忽略, 環在棒上可以上下滑動,弦與環的連接是自由的。將弦與棒之間的夾角(較小者)記為Φ，環與球由Φ=Φ₀的靜止狀態開始下滑,假設下滑過程中,弦與棒一直維持在同一鉛直面。將重力加速度記為g。忽略環與棒之間的摩擦,以及環的質量。選擇Φ₀，使整個下滑的過程中,弦都沒有擺動,即夾角Φ=Φ₀保持不變。在這種情況下,下落的加速度是__(10)__。

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十一、如圖10所示,水上飛板為一新發明的水上飛行休閒設備,透過巨型長管吸水, 然後再透過腳底的噴水系統噴出高壓水柱將人推到高空以進行飛行。腳底之噴水系統可由圖11之簡化模型描述,其中水柱經由上方固定施力(加壓)由下方小孔噴去。假設每一腳底有一個出水口,水柱出口半徑r=5cm,上方加壓端之水柱半徑甚大於水柱出口半徑,即R>>r。若人加上裝備約100kg重,且水柱經噴水系統噴出之過程的重力位能變化可忽略不計,試估計欲使人穩定地浮在空中, 所需提供之功率為__ (19)__W (取兩位有效數字)。(已知水的密度為1000kg/m³)。

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十三、有一架以等速度v飛行的噴射飛機,在離地高度為h的水平面上，沿一直線飛行。在地面上的一名觀察者,從目擊該架飛機飛臨他的頭頂正上方時,開始計時,經過時間t之後,聽到音爆。已知當時的聲速為v_s,若不計聲速受高度的影響,則該飛機的飛行速度v=__(22)__ ,以v_s、h、和t表示之。

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(a)求質點在B點時細繩所受的張力T。(5分)

(b)當α≤α_c時,細繩在特定角度θ=θ₀時張力會變成零,求α_c及cosθ₀(2分)

(c)若α=3/7,試问單擺細繩繞圖釘運動的過程中(即階段Ⅱ),質點軌跡的最高點與A點的高度差d。(4分)

(d)當α=α₀時,質點在下降的過程中會恰好打到A點,求α₀。(4分)

(a)早期宇宙的溫度極高,所有的粒子的運動速率幾乎接近光速,因此這些粒子可視為「光子氣體」。假設此「光子氣體」以均勻的密度瀰漫在整個宇宙空間，且「光子氣體」的壓力p與能量密度u的關係為=u/3,求其能量密度u與a之間的關係 (5分)

(b)已知「光子氣體」的能量密度=bT⁴,式中b為常數,T為光子氣體的絕對溫度。求此「光子氣體」的溫度T與a之間的關係。 (4分)

(c)現今宇宙背景輻射的溫度已測知為3.0K。不考慮宇宙在膨脹過程中,形成物質的影響,則當宇宙背景輻射的溫度為3000K時,宇宙體積V(3000K)和現今宇宙體積V(3.0K)的比值。 (3分)

(d)宇宙溫度會隨著膨脹而下降。當溫度夠低時,大部分的粒子變成像灰塵一樣，其壓力p=0,求這個時期宇宙能量密度u與a之間的關係。 (3分)

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