107年 - 107 高等考試_三級_統計：抽樣方法#70972

一、⑴假設是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而四個元素的研究變數（study variable）值分別為 y₁=1、y₂=3、y₃=3 以及 y₄=9。我們採用不置回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）從母體 之中抽出樣本大小（sample size）為 n=2 的樣本組合，並以 Y₁, Y₂來表示此樣本組合中的兩個樣本數據（註：採用大寫英文字母 Y，表示樣本 數據皆為隨機變數）。試求 Y₁與 Y₂的聯合機率分佈（joint probability distribution） 以及 Y₁與 Y₂的共變異數（covariance）。（15 分）

二、⑴假設某一個有限母體可被完整地切割為L個互不相交的層別（strata），其中第h層 之層大小（stratum size）為Nh，第h層之第j個元素的研究變數值為y_hj，h=1,…,L， j=1,2,…,N_h。母體大小（population size）、母體平均數（population mean）以及母體 變異數（population variance）的數學式分別為

其次，母體中第 h 層之層平均數（stratum mean）以及層變異數（stratum variance） 的數學式分別為

試證明下列等式： 

其中 為第 h 層的層比重（stratum weight），h = 1, ..., L。   （10 分）