112年 - [無官方正解]112-1 建中第一學期定期考試高三數甲試題#142992

1. L 可以用符號 \(\lim_{n\to\infty} 0.\widehat{999\dots9}^{n\text{個}9}\) 來表示(A)O(B)X

2. L < 1(A)O(B)X

3. L 是集合 \(\left\{ 0.\widehat{999\dots9}^{n\text{個}9} \mid n \in \text{正整數} \right\}\) 中的一個元素(A)O(B)X

4. \(L = \frac{0.9}{1-0.1}\)(A)O(B)X

5. \(L > 0.\overline{9} \times 0.\overline{9}\)(A)O(B)X

6. \(L < \lim_{n\to\infty} 1.\widehat{000\dots0}^{n\text{個}0} 1\)(A)O(B)X

7. f(x) 與 g(x) 是同一個函數(A)O(B)X

8. \(\lim_{x\to 2023} f(x) = \lim_{x\to 2023} g(x)\)(A)O(B)X

9. 因為 f(-1) < 0，f(1) > 0 所以由勘根定理可知，在區間 (-1,1) 內必有方程式 f(x) = 0 的實根 (A)O(B)X

10. 無論 k 值為何，\(\lim_{x \to 5} h(x) = 10\)(A)O(B)X

## 二、選填題(每格 5 分，共 30 分)

A. 設 \(f(x) = x^2 + x\)，g(x) = 3x + 4，則 \((g \circ f)(1) + (f \circ g)(2) = \underline{⑩⑪⑫}\)。

B. 函數 \(f(x) = \sqrt{35 - 2x - x^2}\) 的值域為閉區間 \([\underline{22}, \underline{23}]\)。

C. (1) 數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 的極限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = \underline{24}\) 。

(2) 承上題，若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = L\) ，

則數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 從第 \(\underline{25}\underline{26}\underline{27}\) 項開始，其值與 L 的差 \(\left| \frac{4n^2}{n^2+9} - L \right|\) 會小於 \(\frac{1}{10000}\) 。

D. 若 \(\lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = L\) ，則 x 與 5 的距離 |x - 5| 小於等於何值時，其函數值與 L 的差 \(\left| \frac{1}{x} - L \right|\) 最多是 \(\frac{1}{10000}\) ？

1.

在校慶園遊會中，創意行銷扮演著相當重要的角色。已知建仔攤位專賣紅茶，計畫推出一項名為「紅茶容量加大連連」的促銷活動。在這項活動中，當顧客支付 20 元後，必須投擲一個公正硬幣。如果硬幣投擲出反面則投擲結束，顧客將獲得 500 cc(立方公分)的紅茶；但如果硬幣投擲出正面，然後再次投擲出反面，顧客將獲得的紅茶量為 500 + 250 cc。若連續投擲 2 次正面，然後才投擲出反面，則顧客獲得的紅茶量為 500 + 250 + 125 cc，依此類推。若連續投擲 n - 1 次正面，然後才投擲出反面(總共投擲了 n 次硬幣)，顧客將獲得的紅茶量為

\[500 + 500 \times \frac{1}{2} + \dots + 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \text{ cc} 。\]

然而，700 cc 紅茶的所有成本是 20 元，因此當支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量超過 700 cc 時，建仔攤位會虧本。為了評估這個促銷活動的可行性，請計算支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量的數學期望值。

(12 分)

3
(6) 2.
(6) 建仔欲利用環形面積的低估與高估，來證明半徑為 r 的圓面積 \(A = \pi r^2\)。
他首先將半徑 3 等分，然後利用同心圓劃分出三個區域，分別為區域 1、區域 2 和區域 3，如下所示：


| | 區域 1 | 區域 2 | 區域 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 圖示 | | | |
| 說明 | 半徑 \(\frac{r}{3}\) 的圓 | 寬度 \(\frac{r}{3}\) 的同心圓環區域， 小圓半徑 \(\frac{r}{3}\)，大圓半徑 \(\frac{2r}{3}\) | 寬度 \(\frac{r}{3}\) 的同心圓環區域， 小圓半徑 \(\frac{2r}{3}\)，大圓半徑 \(\frac{3r}{3}\) |
| 面積的低估 | 以長 \(2\pi \cdot 0\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計，面積為 0 | 以長 \(2\pi \cdot \frac{r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) |
| 面積的高估 | 以長 \(2\pi \cdot \frac{r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{3r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{3r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) |

4

接著，建仔將上表中對於 A 的估算寫成不等式：

\[2\pi \cdot 0 \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3} \leq A \leq 2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{3r}{3} \cdot \frac{r}{3}\]

現在，請重新將半徑 n 等分並仿照建仔的方法估算 A，然後使用夾擠定理證明圓面積公式

\[A = \pi r^2\]

(12 分)

3. 以下是課本對於自然常數 e 的介紹：

數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 為嚴格遞增數列，而 \(e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284 \dots\)

某日建仔用電腦(Excel 軟體)計算 \((1 + \frac{1}{10})^{10}, (1 + \frac{1}{100})^{100}\),

\((1 + \frac{1}{1000})^{1000}, \dots, (1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的值，卻驚訝發現：

當 k = 15 時，\((1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的計算結果是 \(3.035035207 \dots\)，截圖如下：

| k | \((1+1/10^k)^\wedge(10^k)\) |
| --- | --- |
| 1 | 2.59374246 |
| 2 | 2.704813829 |
| 3 | 2.716923932 |
| 4 | 2.718145927 |
| 15 | 3.035035207 |
(6) (1)

\[(1 + \frac{1}{n})^n\]

\[= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{n-1}{n})\]
(6) (2)

對於 \(n = 1, 2, 3, \dots\)，數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 的每一項皆小於 3。

5