112年 - [無官方正解]112-2 建中第二次定期考試高二數B試題#142987

1. 設 A 為 \(2 \times 2\) 階矩陣，且對任意實數 x、y，則 \(A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix}\) 均成立。試求矩陣

\[A^2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = ? \quad (A) \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix} \quad (B) \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \quad (C) \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \quad (D) \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \quad (5) \text{ 以上皆非}\]

2. 設矩陣 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)，若 \(A^7 - 3A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，則 a + b + c + d 之值為下列哪一

個選項？(A) -8 (B) -5 (C) 5 (D) 8 (5) 10

3. 設大華上個學期國文、英文、數學、社會四科的成績如右表：已知「平時、段考、期考」之成績分別占學期成績的 30%、40%、30%，若大華國文、英文、數學、社會四科的學期成績分別是 a、b、c、d，則下列哪一個選項正確？

\[(A) \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.4 \\ 0.3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 90 & 95 & 82 \\ 94 & 88 & 90 \\ 84 & 75 & 85 \\ 92 & 80 & 86 \end{bmatrix}\]

\[(B) \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 90 & 94 & 84 & 92 \\ 95 & 88 & 75 & 80 \\ 82 & 90 & 85 & 86 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.4 \\ 0.3 \end{bmatrix}\]

\[(C) \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 90 & 94 & 84 & 92 \\ 95 & 88 & 75 & 80 \\ 82 & 90 & 85 & 86 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.4 \\ 0.3 \end{bmatrix}\]

(5) 以上皆非

| 成績 學科 | 平時成績 (30%) | 段考成績 (40%) | 期考成績 (30%) |
| --- | --- | --- | --- |
| 國文 | 90 | 95 | 82 |
| 英文 | 94 | 88 | 90 |
| 數學 | 84 | 75 | 85 |
| 社會 | 92 | 80 | 86 |

\[(D) \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 90 & 95 & 82 \\ 94 & 88 & 90 \\ 84 & 75 & 85 \\ 92 & 80 & 86 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.4 \\ 0.3 \end{bmatrix}\]

193

## 二、多重選擇題(每題 8 分，共 24 分)

說明：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4. 請選出使矩陣 \(A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}\) 不可逆的選項？

(A) \(a_1 + a_4 = a_2 + a_3\) (B) \(|a_1 a_4| = |a_2 a_3|\) (C) 數列 \(\langle a_n \rangle\) 為等差數列

(D) 數列 \(\langle a_n \rangle\) 為等比數列 (5) 數列 \(\langle a_n \rangle\) 滿足 \(\begin{cases} a_1 = 1, a_2 = 2 \\ a_{n+2} = a_n \times a_{n+1} \end{cases}\)，n 為正整數

5. 設 A, B, C 皆為 2 階方陣，I 為 2 階單位方陣，則下列何者正確？

(A) 若 \(A^2 = I\)，則 A = I 或 A = -I (B) 若 AB = I，則 BA = I

(C) \(\det(5A) = 5 \det( A )\)

(D) 若 AB 的乘法反方陣存在，則 A 和 B 的乘法反方陣也都存在

(E) 若 AB = BC 且 \(B^{-1}\) 存在，則 A = C

6. 設 A, B, C 皆為 n 階方陣，\(I_n\) 為 n 階單位方陣，\(O_n\) 為 n 階零方陣，選出正確的選項？

(A) 若 \(AB = O_n\) 且 \(A \neq O_n\)，則 \(B = O_n\) (B) 若 A + B = C，則 \(AB + B^2 = BC\)

(C) 若 \(AB = I_n = BA\) 且 \(AC = I_n = CA\)，則 B = C (D) 若 \(A^2 = I_n\)，則 \(A = A^{-1}\)

(E) 若 \(AC = I_n = CA\)，則 \((ABC)^n = AB^n C\)

(A) \(A^3\) 的所有元總和為(單選題，3 分)

(A) 32 (B) 40 (C) 48 (D) 56 (E) 64

## 三、填充題(每題 6 分，共 48 分)
7. 設 M 是一個 \(3 \times 2\) 階的矩陣且 \(M \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}\)，\(M \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}\)，則 \(M \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} =\) __________。

194

8. 若 \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}\)，則 \(A^2 + AB - BA - B^2 =\) __________。

9. 設 \(A + B = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}\)，\(AB + BA = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}\)，求 \(A^2 + B^2 =\) __________。

10. 設 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}\)，若 \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) 成立，則 x = __________。

11. 設 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)，\(I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)，若 \(A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 = aI_2 + bA\)，其中 a, b 為實數，則數對 (a, b) = __________。

12. 已知 A 為二階方陣，滿足 \(A^3 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) 且 \(A^5 = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\)，則 \(A^4 =\) __________。

13. 設矩陣 \(A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\)，\(B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\)，

其中 \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\) 為矩陣 \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 的反方陣。

若 \(A + B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}\)，則 a + b + c + d = __________。

14. 設 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)，\(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)，若矩陣 X 滿足 AX - X = 9(A + I)，

則矩陣 X = __________。

(B) n 為正整數，推測 \(A^n =\) \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。(填充題，3 分)

(C) 證明上述推測。(非選擇題，4 分)

196