114年 - 114 中央警察大學_碩士班入學考試試題_消防科學研究所、交通管理研究所：微積分(同等學力加考)#146806

一、請回答下列問題：
(一)傅立葉轉換是常用的分析工具，其轉換公式為
\( F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j2\pi\mu t}dt \ , \)
其中\( e^{-j2\pi\mu t} = \cos(2\pi\mu t) - j \sin(2\pi\mu t) \)與 j = √−1 .
若有一個函數
\( f(t) = \begin{cases} 1, & \frac{-1}{2} \le t \le \frac{1}{2} \\ 0, & \text{其它} \end{cases} \)
請使用上列轉換公式計算其傅立葉轉換 F (μ) = ？(13 分)

(二)求∫ x² sin x dx = ？ (12 分)

(一) 區域 A 的面積為何？(5 分)

(二) 由區域 A 繞 X 軸旋轉所形成的立體形狀之體積為何？(10 分)

(三) 由區域 A 繞 Y 軸旋轉所形成的立體形狀之體積為何？(10 分)

(一) 寫出系統力方程式 (5 分)

(二) 求發射 10 年後的速度 (10 分)

(三) 討論你所得的答案 (10 分)

(一) \( \frac{d}{dx} e^2 \)(5 分)

(二) \( \frac{d}{dx} 2^x \) (10 分)

(三) \( \frac{d}{dx} (\sin x)^x \) (10 分)