115年 - [無官方正解]112-1 高三第二學期定期考試題：數甲#142994

科目：【阿摩】未分類題庫 | 年份：115年 | 選擇題數：3 | 申論題數：15

試卷資訊

所屬科目：【阿摩】未分類題庫

選擇題 (3)

1. 下列哪些函數在?? = 2處可微分？
(A) ??(??) = |?? − 2|。
(B) ??(??) = [(?? − 2)2 ]，其中[ ]表高斯符號。
(C) ??(??) = (?? − 2) × |?? − 2|。
(D) ??(??) = |?? 2 + ?? − 6| = |(?? − 2)(?? + 3)|。
?? 2 + 2，?? ≥ 2
(E) ??(??) = � 2 。
?? + ??，?? < 2
2. 已知??(??)為一個實係數多項式函數，請選出正確的選項。
(A) 若??(??)在?? = ??處有極值，則??′(??) = 0。
(B) 若??′(??) = 0且??′′(??) ≠ 0，則??(??)在?? = ??處有極值。
(C) 若點(??, ??(??))為函數圖形?? = ??(??)的反曲點，則??′′(??) = 0。
(D) 若??′(??) = ??′′(??) = 0，則??(??)不是極值。
(E) 若??(??)在區間(??, ??)內為嚴格遞增函數，則區間(??, ??)中的任意實數??，
恆有??′(??) > 0。
3. 已知??(??) = ??(?? − 3)3 + ??(?? − 3)2 + ??(?? − 3) + ??為一個實係數三次函
數，請選出正確的選項。
(A) 若??′′(??) = 0，則?? = ??(??)的反曲點為(??, ??(??))。
(B) 若?? = 0，則函數圖形?? = ??(??)的反曲點為(3, ??)。
(C) 若??、??、??為函數圖形?? = ??(??)上相異三點滿足??為??和??的中點，
則?? = ??(??)的反曲點為點??。
(D) 若?? = 0且???? > 0，則??(??)為嚴格遞增函數。
(E) ?? = ??(??)在?? = 3處的一次近似為?? = ??′(C)(?? − 3) + ??。

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申論題 (15)

二、選填題(每題 6 分，共 54 分)

(??−1)(??−4) ○
4
1. 設函數??(??) = (??−2)(??−3)，則?? ′ (5) = 。
○
5 ○6

2. 設函數??(??) = (?? 2 + 2?? − 9)5 ，則 ??(??)在?? = 2處的導數為○
7 ○
8 。
3. 設函數??(??) = ?? 3 − 8?? + 4，則過點??(1,1)的切線方程式為

?? = ○
9 ○
10 ?? + ○
11 。

??(??)−3
4. 設??(??), ??(??)皆為首項係數為 1 的二次函數，且lim ??−2 = 5，
??→2

??(??)−5
lim = 3。
??→2 ??−2

令??(??) = ??(??)??(??)，則??′(2) = ○
12 ○
13 。

?? 2 + ??，?? ≥ 2
5. 給定實數??、??，設函數??(??) = � 2]
，其中[?? 2 ]表示不大於
???? + ??[?? ，?? < 2

○
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?? 2 的最大整數。若??(??)在?? = 2處可微分，則數對(??, ??) = (○
14 , ○
15 )。
○
17
6. 設實係數二次函數??(??) = ???? 2 + ???? + ??，且圖形?? = ??(??)在?? = 3處的切線

為?? = 6?? − 26。令??(??) = (?? − 1)??(??)。若??(??)在?? = 1處有極值，則

(??, ??, ??) = (○
18 , ○
19 ○
20 ○
21 , ○
22 ○
23 )。
7. 設函數??(??) = 2?? 3 與??(??) = 6?? + ??兩圖形有三個相異交點(??1 , ??1 )、

(??2 , ??2 )、(??3 , ??3 ) 滿足??1 ??2 ??3 < 0，則實數??的範圍為○
24 ○
25 < ?? < ○
26 。

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8. 已知四次函數??(??)有兩個反曲點(2,4), (−1,85)，且?? = ??(??)在?? = −1處的

切線與??軸平行，則??(1) = ○
27 ○
28 。
9. 建國油行預計生產一瓶容器為圓柱形(含蓋子)的沙拉油，容量為 4 公升。

為了使該容器的生產成本最低(即表面積最小)，則此圓柱形容器的底部圓

�○
3
31
形的半徑為○
29 ○
30 公分。(註：1L = 1000ml = 1000 立方公分)
??
三、計算證明題(佔 22 分)
1. 設函數??(??) = ?? 4 − 18?? 2 ，請回答下列問題。
(1) 討論函數??(??)的遞增、遞減區域。 (3 分)
(2) 試求函數??(??)的所有極值發生的點坐標。(3 分)
(3) 討論函數??(??)的凹向性。 (3 分)
(4) 試求函數??(??)的所有反曲點。 (3 分)
2. 設??(??) = (?? − 1)(?? − 2)(?? − 3)(?? − 4)(?? − 5)(?? − 6)，試求
(1) ??′(6)的值。 (4 分)
(2) ??′′(6)的值。 (6 分)

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