115年 - 115 高雄市立高雄高級中學_正式教師甄選試題︰數學科#140111

1. 給定空間中四點 O(0,0,0)，A(−11,1,2)，B(1,1,5)，C(7, −2, −1)， 設 ，0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x，y ≤ z ≤ 1，試求 之終點P所形成區域的體積。 

2. 圖 1 為函數 f ( x) = a cos(bx + c) + k 的圖形，

 其中 ， b >0 ， π < c ≤ 2π ，試問數對 (a, b, c, k ) 。 

3. 若函數 ，則導數f ′ (2) =？ 

4. 想要給 4 × 4 方格中標記上「圈圈」與「叉叉」 ，

使得每一行或每一列正好有兩個「圈圈」和「叉叉」方格， 一共有幾種不同方法？

5. 設 logA＝a，logB＝b，logC＝c，且 a＋b＋c＝0，

求之值。 

6. 袋中十顆球分別為 1、2、…、9、10 號球，從袋中隨機拿取三顆球， 求此三球球號數兩兩互質的機率為何？

7. 已知二次實係數多項式 f(x) 及三次實係數多項式 g(x) 領導係數皆為 1， 且 g(x) 除以 f(x) 的餘式為 x + 2，(f(x))² 除以 g(x) 的餘式為 2x− 1， 試求兩多項式f(x)、g(x)。

8. 已知 y = 8x² − 36 x + 34 和 y = 交於 A( x₁, y₁ ) 、 B( x₂ , y₂ ) 、 C( x₃ , y₃ ) 三點， x 若 x₁ 、 x₂ 、 x₃ 成等差數列，試問 k 之值為何？

9. 已知坐標平面上一點 P，先對直線 y = x 對稱後再對直線 y = 2x 對稱的點坐標，會與P直接對直線 y= 3x 對稱的點坐標相等。 等若滿足這樣條件的點必落在直線 y =mx 上，試求 m。

10.求方程式 x²＋y²＝6x＋6√3| y | 之圖形所圍成區域的周長。 

11.設 z 為一複數。若 = √3 ( cos150° + i sin150° ) ， 

 試求之值。

12.試問之值為何？ 

13.設[x]為不超過 x 的最大整數，求 之值。

14.在海軍演習的雷達螢幕上，兩架無人機正在執行飛行測試，它們在同一時間出發，偵察機從 A(1,0,2 ) 沿著直線等速飛行 2 秒後到達位置 B ( 5,4,0) 。 攔截機從 C (1,11,13) 沿著直線等速飛行 1 秒後到達位置 D ( 2,9,10) ， 假設經過一段時間後，兩架無人機的距離最近，試求此時的最近距離。 

15.空間中直線。

若 L₁ 落在平面 E 上，且 L₂ 和平面 E 的夾角之餘弦值為 ， 試問平面 E 的方程式為何？ 

16.求證 。