93年 - [無官方正解]93 國立澎湖科技大學_轉學生招生考試試題_電信工程學系三年級：工程數學#146594

一、若 \( y' - 2xy = 0 \)，則其通解為 (A) \( e^{x^2} + C \) (B) \( Ce^{x^2} \) (C) \( Ce^{x^2} + 1 \) (D) \( C(e^{x^2} + 1) \)。

二、若 \( (x - y)dx - xdy = 0 \)，則其通解為 (A) \( \frac{x^2}{2} - xy = C \) (B) \( \frac{x^2}{3} - xy = C \) (C) \( \frac{x^2}{3} - y = C \) (D) \( \frac{x^2}{2} - y = C \)

三、若 \( y' + \frac{y}{x} = x \)，\( y(1) = \frac{4}{3} \)，則其特解為 (A) \( x^2 + \frac{1}{3x} \) (B) \( \frac{x^2}{3} + 1 \) (C) \( \frac{2}{3}(x^2 + 1) \) (D) \( \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x} \)

四、若 \( y'' - 6y' + 9y = 0 \)，\( y(0) = 1 \)，\( y'(0) = 0 \)，則其特解為 (A) \( e^{-3x} + 3xe^{-3x} \) (B) \( e^{3x} + 3xe^{3x} \) (C) \( e^{-3x} - 3xe^{-3x} \) (D) \( e^{3x} - 3xe^{3x} \)。

五、若 \( y''' - y = 0 \)，則其通解為 (A) \( C_1 e^x + e^{\frac{1}{2}x} (C_2 \cos \sqrt{3}x + C_3 \sin \sqrt{3}x) \) (B) \( C_1 x + e^{\frac{1}{2}x} (C_2 \cos \sqrt{3}x + C_3 \sin \sqrt{3}x) \) (C) \( C_1 e^x + e^{-\frac{1}{2}x} (C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x) \) (D) \( C_1 x + e^{-\frac{1}{2}x} (C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x) \)

六、有關矩陣 \( A, B \) 之運算，下列敘述何者正確？ (A) \( (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \) (B) \( (AB)^T = A^T B^T \) (C) \( (AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1} \) (D) \( A^T = A^{-1} \)

七、已知矩陣 \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)，下列何者非其特徵值(eigenvalue)

(A) \( \lambda = 1 \)
(B) \( \lambda = 2 \)
(C) \( \lambda = 5 \)
(D) \( \lambda = 3 \)

八、

已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)，且其反矩陣 \( A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ -1 & b & 0 \\ 1/2 & 0 & c \end{bmatrix} \)，下列敘述何者錯誤？

(A) \( a = -1/2 \)
(B) \( b = -1 \)
(C) \( c = 1/2 \)
(D) \( d = -1/2 \)

一、試解 \( (x + y^{2})dx + (2xy - 1)dy = 0 \)。(7.5%)

二、試解 \( y'' - y' - 2y = 3e^{-x} \)。 (7.5%)

三、試將矩陣 \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)，表示成對稱矩陣與反對稱矩陣的和。(7.5%)

四、如圖一所示，利用 Kirchhoff 定律列出方程式，並用高斯消去法求解電流 \( i_1, i_2, i_3 \)。(7.5%)