96年 - 96 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所：機率論#147982

科目：研究所、轉學考(插大)◆機率 | 年份：96年 | 選擇題數：0 | 申論題數：11

試卷資訊

所屬科目：研究所、轉學考(插大)◆機率

選擇題 (0)

申論題 (11)

# 國立高雄大學九十六學年度博士班招生考試試題

科目：機率論
1-5題每題20分，須附上該有之步驟。

1. 設隨機變數$X_{\lambda}$之機率密度函數(p.d.f.) 為

$$f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x), x \in R,$$

其中$\phi$為$\mathcal{N}(0, 1)$分佈之p.d.f., $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(u) du, \lambda \in R$為一常數。

(i) 試證$f(x)$確實為一p.d.f.,
(ii) 求$Y = X_{\lambda}^2$之p.d.f., 並決定此為那一常見分佈,
(iii) 求$\lambda \to \infty$時, $X_{\lambda}$之極限分佈,
(iv) 令$\Phi(x; \lambda) = P(X_{\lambda} \leq x), x \in R$。試證$\Phi(x; 1) = (\Phi(x))^2, x \in R$。
2. 設$X_1, X_2, \cdots, X_n, n \geq 1$, 為i.i.d. $\mathcal{U}(0, 1)$分佈之隨機變數, $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$表其順序統計量。對$1 < k < n$, 試求

(i) 給定$X_{(k)} = a, 0 < a < 1, X_{(1)}, \cdots, X_{(k-1)}$之條件分佈,
(ii) 給定$X_{(k)} = a, 0 < a < 1, E(X_{(j)} - X_{(i)})$, 假設$k \leq i < j \leq n$。
3. 設隨機變數$X$滿足$E(X^2) < \infty$。令$[x]$表小於或等於$x$之最大整數。則證明或否證：

(i) $E([X]) \leq E(X)$是否必成立？
(ii) $\text{Var}([X]) \leq \text{Var}(X)$是否必成立？
4. 設將$r$個球隨機地放進$n$個盒子中。令$A_i$表第$i$個盒子為空盒之事件, $N_n$表總共之空盒數。試證

(i) $P(A_i) = (1 - 1/n)^r, E(N_n) = n(1 - 1/n)^r, \text{Var}(N_n) = n(n - 1)((1 - 2/n)^r - (1 - 1/n)^{2r}) + n((1 - 1/n)^r - (1 - 1/n)^{2r})$;
(ii) 若$r$與$n$有關, 且$n \to \infty$時, $r/n \to c$, 則$n \to \infty$時, $E(N_n/n) \to e^{-c}$, 且$N_n/n$機率收斂(converges in probability) 至$e^{-c}$。
5. 設隨機數列$\{X_n, n \geq 1\}$機率收斂至隨機變數$X$。試證存在子一數列$\{n_k, k \geq 1\}$, 使得$k \to \infty$時, $\{X_{n_k}, k \geq 1\}$幾乎確實地收斂(converges almost surely)至$X$。