2. 全年級的英文段考成績符合常態分配(Normal Distribution),平均數為60分,標準差為5分,小英這次的段考成績為70分,該成績之PR值(Percentile Rank)是多少?
(A) 80
(B) 84
(C) 97
(D) 99

這題的答案是 (C) 97（更精確的數值約為 97.72，在此處選最接近的 97）。

我們可以用常態分配的特性與 $Z$ 分數來按部就班計算：

1. 計算 $Z$ 分數（標準分數）

$Z$ 分數可以告訴我們，小英的成績距離平均數有幾個標準差。公式如下：

將題目中的數值代入：

• 小英分數 = $70$

• 平均數 ($\mu$) = $60$

• 標準差 ($\sigma$) = $5$

這代表小英的成績比平均數高出了 2 個標準差。

2. 對照常態分配百分比

根據常態分配的「三個標準差原則」（68-95-99.7 法則）：

• 平均數上下 1 個標準差（$Z = \pm 1$）之間包含約 68% 的資料。

• 平均數上下 2 個標準差（$Z = \pm 2$）之間包含約 95% 的資料。

因為常態分配圖形左右對稱，我們可以直接算出 $Z = +2$ 以下（即從小英的分數往左看，所有分數比她低的人）的總百分比：

• 平均數（$Z = 0$）的左邊佔了 50%。

• 從平均數到 $Z = +2$ 之間，佔了 $95\% \div 2 = \mathbf{47.5\%}$。

將這兩部分相加，就是小英贏過全校學生的百分比：

(備註：若用更精確的母體常態分配表計算，$Z = +2$ 以下的累積機率為 97.72%)

結論

PR 值（百分等級）代表「贏過多少百分比的人」。小英贏過了約 97.5% ~ 97.72% 的同學，因此其 PR 值最接近 97。