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教甄◆數學專業
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115年 - 115 金門縣國民中學正式教師聯合甄選：數學專長#141580
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21. 試問 $3^{100}$ 除以 7 的餘數為何？
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
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22. 下列多項式何者在 $\mathbb{Q}[x]$ 中可約 (reducible)？(A) $x^2 - 2$(B) $x^2 + 1$(C) $x^2 + x + 1$(D) $x^2 - 1$
#3955212
23. 設兩直線 $L_1: (x, y, z) = s(1, 0, 1)$, $L_2: (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(0, 1, 1)$，其中 $s, t \in \mathbb{R}$。求 $L_1$ 與 $L_2$ 的距離。(A) 0(B) $\frac{1}{3}$(C) $\frac{1}{\sqrt{3}}$(D) $\sqrt{3}$
#3955213
24. 由向量 a = (1, 2, 0), b = (2, 1, 2) 張成的平行四邊形面積為何？(A) $\sqrt{14}$ (B) $\sqrt{21}$(C) $\sqrt{29}$ (D) 29
#3955214
25. 數列滿足 $a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2} (n \geq 2)$, $a_0 = 0$, $a_1 = 1$. 試求一般項 $a_n$ 為何？(A) $n$(B) $2n - 1$(C) $2^{n-1}$(D) $2^n - 1$
#3955215
26. 小明錢包裡有 10 個 1 元，6 個 5 元，9 個 10 元。小明隨機從中拿出 8 枚硬幣，有幾種不同的組合？(A) 42 (B) 45 (C) 48 (D) 56
#3955216
27. 小明錢包裡有 10 個 1 元，6 個 5 元，9 個 10 元。小明隨機從中拿出 2 枚硬幣，總和的期望值為何？(A) 9.6(B) 10(C) 10.4(D) 10.8
#3955217
28. 怡君站在家豪西南方距離 $10\sqrt{2}$ 公尺處，而淑芳站在家豪東方 10 公尺處。令 $\alpha$ 表示從怡君看出去家豪和淑芳之間的夾角。則 $\sin \alpha =$(A) $\frac{1}{\sqrt{3}}$(B) $\frac{1}{\sqrt{5}}$(C) $\frac{1}{\sqrt{6}}$(D) $\frac{1}{\sqrt{10}}$
#3955218
29. 已知 $\alpha, \beta$ 為矩陣 $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ 的兩個特徵值，則 $\alpha^2 + \beta^2 =$(A) 5(B) 13(C) 8(D) 17
#3955219
30. 怡君站在家豪西南方距離 $10\sqrt{2}$ 公尺處，而淑芳站在家豪東方 10 公尺處。怡君和淑芳之間的距離為多少公尺？(A) $15\sqrt{3}$(B) $10\sqrt{5}$(C) $10 + 10\sqrt{2}$(D) 24
#3955220
31. 數列 $a_n$ 滿足 $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + n$，則 $a_{10} =$(A) 1525(B) 1530(C) 1535(D) 1540
#3955221
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