32. a、b 為正整數，且 \(1 < \frac{7}{a} < \frac{9}{4} < \frac{5}{b} \le \frac{16}{a+b}\) ，請問 a+b=？
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8

我們先將題目中的不等式整理並依序進行分析與計算：

步驟 1：整理不等式鏈

題目給定的條件為 \( a, b \) 皆為正整數，且滿足：

\[ 1 < \frac{7}{a} < \frac{9}{4} < \frac{5}{b} \le \frac{16}{a+b} \]

我們可以將這個不等式鏈拆解成幾個部分來求解：

步驟 2：求解正整數 \( a \)

觀察包含 \( a \) 的部分不等式：

\[ 1 < \frac{7}{a} < \frac{9}{4} \]

兩邊取倒數（注意不等號方向需改變）：

\[ \frac{1}{1} > \frac{a}{7} > \frac{4}{9} \]

同乘以 \( 7 \)：

\[ 7 > a > \frac{28}{9} \]

計算 \( \frac{28}{9} \approx 3.11 \)，故：

\[ 3.11 < a < 7 \]

因為 \( a \) 為正整數，所以 \( a \) 的可能值為：\( 4, 5, 6 \)。

步驟 3：求解正整數 \( b \)

觀察包含 \( b \) 的部分不等式：

\[ \frac{9}{4} < \frac{5}{b} \]

兩邊取倒數：

\[ \frac{4}{9} > \frac{b}{5} \]

同乘以 \( 5 \)：

\[ \frac{20}{9} > b \implies b < 2.22 \]

因為 \( b \) 為正整數，且 \( b > 0 \)，故 \( b \) 的可能值只有：\( 1 \) 或 \( 2 \)。

步驟 4：檢驗 \( a, b \) 的組合與最後一個條件

最後一個不等式條件為：

\[ \frac{5}{b} \le \frac{16}{a+b} \]

兩邊取倒數：

\[ \frac{b}{5} \ge \frac{a+b}{16} \]

交叉相乘（因 \( b > 0 \) 且 \( a+b > 0 \)）：

\[ 16b \ge 5(a+b) \]

\[ 16b \ge 5a + 5b \]

\[ 11b \ge 5a \]

現在我們將 \( a \in \{4, 5, 6\} \) 與 \( b \in \{1, 2\} \) 代入檢驗：

1. 若 \( b = 1 \)：

   • \( 11(1) \ge 5a \implies 11 \ge 5a \implies a \le 2.2 \)

   • 但 \( a \) 必須為 \( 4, 5, 6 \)，無解。

2. 若 \( b = 2 \)：

   • \( 11(2) \ge 5a \implies 22 \ge 5a \implies a \le 4.4 \)

   • 在可能值 \( a \in \{4, 5, 6\} \) 中，只有 \( a = 4 \) 滿足條件 \( a \le 4.4 \)。

步驟 5：完整驗證

將 \( a = 4, b = 2 \) 代回原始不等式：

• \( \frac{7}{a} = \frac{7}{4} = 1.75 \)

• \( \frac{9}{4} = 2.25 \)

• \( \frac{5}{b} = \frac{5}{2} = 2.5 \)

• \( \frac{16}{a+b} = \frac{16}{4+2} = \frac{16}{6} \approx 2.67 \)

帶入原始不等式驗證：

\[ 1 < 1.75 < 2.25 < 2.5 \le 2.67 \]

不等式完全成立！

結論

得出 \( a = 4 \) 且 \( b = 2 \)，因此：

\[ a + b = 4 + 2 = 6 \]

正確答案：(B) 6