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研究所、轉學考(插大)◆數理統計學
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114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147007
> 申論題
(b) \((10\%)\) Find \(\operatorname{E}(\mathbf{X})\) and \(\operatorname{Var}(\mathbf{X})\).
相關申論題
(c) \((5\%)\) Find \(\mathrm{P}(\mathrm{X} < 0.3)\)
#603266
3. Let fxy(x,y) be the joint probability function of two random variables X and Y. Suppose that the joint moment generating function is $$M_{(X,Y)}(t_1, t_2) = E(e^{t_1 X + t_2 Y}) = \left[ \frac{1}{3}(e^{t_1 + t_2} + 1) + \frac{1}{6}(e^{t_1} + e^{t_2}) \right]^2$$ (a) \((5\%)\) Find the joint probability function of X and Y.
#603267
(b) \((5\%)\) Find the marginal distribution of \(X\) and the marginal distribution of \(Y\).
#603268
# Part II 1. Let X1, X2, ..., Xn be a random sample from Binomial(k, θ), where k is known and θ is unknown. (a) \((5\%)\) Find a complete sufficient statistic of \(\theta\)
#603269
(b) \((5\%)\) Find the uniformly minimum-variance unbiased estimator (UMVUE) of $$\tau(\theta) = P_\theta[X_1 = 1].$$
#603270
2. Let X1, X2, ..., Xn be a random sample from a population with pdf $$f(x|\theta) = \theta x^{\theta-1} \mathbf{1}_{\{0
#603271
(b) \((5\%)\) Find the asymptotic variance of \(\hat{\theta}\)
#603272
(c) \((5\%)\) Find a consistent estimator of \(\theta\). Prove your claim.
#603273
3. Let Xi = (Xi1, Xi2)', i = 1, ..., n, be i.i.d. bivariate normal with unknown (μ1, μ2)' = E[X1] and Var(X1). Let θ = μ2/μ1 be the parameter of interest (μ1 ≠ 0). Define Yi(θ) = Xi2 - θXi1. (a) \((5\%)\) It is known that \(Y_{1}(\theta),\ldots ,Y_{n}(\theta)\) are i.i.d. with \(N(K_{1},K_{2})\) . Find \(K_{1}\) and \(K_{2}\)
#603274
(b) \((5\%)\) Find a pivotal quantity of \(\theta\)
#603275
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