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研究所、轉學考(插大)◆工程數學
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104年 - 104 國立臺北大學_學士班曁進修學士班轉學生招生考試試題_電機工程學系、通訊工程學系學士班3年級：工程數學#147392
> 申論題
(b) Find a basis of solutions of the above ODE.
相關申論題
4. (8%) Let f(x) be a periodic function with period $2\pi$ and defined by $$f(x) = \begin{cases} x + \pi, & |x| \le \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \frac{\pi}{2} < |x| \le \pi. \end{cases}$$ for $-\pi \le x \le \pi$. Find the Fourier series of f(x).
#606582
1. (10%) Use the elementary row operations to find the inverse of the matrix \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix}\)
#606583
2. (10%) Let \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \). Find an upper triangular matrix \( U \) and a lower triangular matrix \( L \) such that \( A = LU \).
#606584
3. (10%) The following matrix is the adjoint matrix of \( A \): adj \( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \end{bmatrix} \). Please calculate \( \det(A) \).
#606585
4. Let \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) be a linear system whose augmented matrix \( (A|\mathbf{b}) \) has reduced row echelon form (a)(10%) Find all solutions to the system.
#606586
(b)(10%) If $$ a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} $$ and $$ a_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} $$ determine b
#606587
5. Define a mapping from $$\mathbf{R}^3$$ to $$\mathbf{R}^2$$: $$L(\mathbf{x}) = (2x_2 + 5x_3, 3x_1 + x_2)^7$$. (a)(5%) Show that the mapping \(L\) is a linear transformation.
#606588
(b)(5%) Find a matrix \(\mathbf{A}\) such that \(L(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x}\) for each \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3\).
#606589
6. Give the following system $$\mathbf{Bx} = \mathbf{b}$$ where $$ \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}. $$ (a)(10%) Find the least squares solution \(\hat{\mathbf{x}}\) for the system \(\mathbf{B}\mathbf{x} = \mathbf{b}\).
#606590
(b)(5%) Determine the projection \(\mathbf{p} = \mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}\)
#606591
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