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111年 - 111 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班3年級：機率概論#147608
> 申論題
(c) (5%) If balls are selected with replacement. Let \( X \) denote the number of selected balls if you are the winner. Find the probability mass function.
相關申論題
(d) (5%) Derive \( E[X] \). [A detailed derivation is required.]
#608344
3. (10%) Let $X$ have the probability mass function $$f_X(x) = P[X = x] = \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2|x|}, x = \pm 1, \pm 2, \dots$$ (a) \((5\%)\) Find \(P[X = 1,2,3,\dots ]\)
#608345
(b) (5%) Find \( E[X] \) and \( Var(X) \). [A detailed derivation is required and the answer has to be simplified.]
#608346
4. (10%) Suppose that 500 points are selected independently and at random from the unit square $$\{(x, y): 0 \le x < 1, 0 \le y < 1\}.$$ Let $W$ equal the number of points that fall into $\{(x, y): x^2 + y^2 < 1\}$. (a) (5%) Write down the distribution of \( W \) and the corresponding probability mass function.
#608347
(b) (5%) Find the mean and variance of \( W \). [A detailed derivation is required.]
#608348
5. (15%) Red Rose tea randomly began placing 1 of 6 English porcelain miniature figurines in a 100-bag box of the tea, selecting from 6 nautical figurines, which are numbered 1 to 6. (a) Let \( X \) denote the number of Red Rose tea that a family would have to buy to have at least three of the nautical figurine having number 1. Write down the probability mass function of \( X \).
#608349
(b) Derive the moment generating function of \( X \). [A detailed derivation is required.]
#608350
(c) On the average, how many boxes of tea must be purchased by a customer to obtain a complete collection consisting of the 6 nautical figurines.
#608351
6. (10%) Let $f(x) = \frac{1}{6}, 0 \le y \le 4, y \le x \le y + 2$ be the joint pdf of $X$ and $Y$. (a) Find the conditional pdf of \( X \) given \( Y = y \) and of \( Y \) given \( X = x \).
#608352
(b) Find the conditional expectation of \( X \) given \( Y = y \).
#608353
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