二、如圖 2 所示電路，其中輸入端之電壓源= 7.68 cos(2t + 47°) V，且輸出電壓= 1.59 cos(2t + 125°) V，請計算電容 C 之數值。（30 分）

這題是要求電容 C 的值，給了輸入電壓 vs​(t) 和輸出電壓 vo​(t)。這是一個交流電路的電壓分配問題，我們使用相量法 (Phasor) 來解最方便。

1. 寫出相量:

   • 角頻率 ω=2 rad/s
   • 輸入電壓相量 Vs​=7.68∠47∘V
   • 輸出電壓相量 Vo​=1.59∠125∘V
   • 電阻阻抗 ZR​=R=1Ω
   • 電容阻抗 ZC​=jωC1​=j(2)C1​=2C−j​

2. 利用分壓定律: 輸出電壓是跨在電阻 R 上的電壓 Vo​=Vs​×ZR​+ZC​ZR​​ Vs​Vo​​=ZR​+ZC​ZR​​

3. 計算電壓比: Vs​Vo​​=7.68∠47∘1.59∠125∘​=7.681.59​∠(125∘−47∘)≈0.2070∠78∘

4. 代入阻抗求解: 0.2070∠78∘=1+ZC​1​=1+2C−j​1​

5. 移項整理: 1+2C−j​=0.2070∠78∘1​ 1−2Cj​=0.20701​∠−78∘≈4.831∠−78∘

6. 轉換為直角坐標: 4.831∠−78∘=4.831(cos(−78∘)+jsin(−78∘)) $$ \approx 4.831 (0.2079 - j 0.9781) \approx 1.004 - j 4.725 $$

7. 比較等式兩邊: 1−j2C1​≈1.004−j4.725 比較實部：1≈1.004 (基本吻合) 比較虛部：−2C1​≈−4.725

8. 解出 C: 2C1​≈4.725 C≈2×4.7251​=9.451​≈0.1058F

答案: 電容 C 的數值約為 0.106 F (法拉)。