二、已知多項式\(x^2 + x + 2\) 能整除多項式\(x^5 + x^4 + x^3 + px^2 + 2x + q\) ，求 p 和 q 的值。(10 分，須有計算過程)

三、假設 p = 3k + 2 是一個質數。試證：如果 p 可整除多項式 \(a^2 + ab + b^2\)(a 和 b 都是整數) ，則 a 和 b 必定都是 p 的倍數。(15 分)

四、試求出 258000 除以 7 的餘數是多少？(10 分，須有計算過程)

五、令 - N = p × q = 55，欲利用 e = 7 進行 RSA 加密，亦即\(12^7 \pmod{55}\) = X(X 即 為加密的密文) ，試解出 X。(15 分)

六、試求 3 mod 20 的乘法逆元。 (10 分，須有計算過程)

七、 \(M_p = 2^p - 1\) ，請分別驗證 M7 與 M11 是否為梅森質數(Mersenne prime)？ (20 分，各 10 分)

八、試論證二次同餘方程 \(X^2 = 13\) (mod 101)是否有整數解？(10 分)

一、翻譯(一)中翻英 為了能持續改善旅客經驗，並能同時兼顧邊境安全與管制，英國政府即 將於今年夏天開放讓與成人同行的兒童亦能使用電子通關閘門 （eGates），依據最近公布的資料，年滿 8 歲及 9 歲且身高至少 120 公分 （3 英尺 11 英寸）的孩童，將符合使用電子通關閘門的資格。這項對年 齡限制的調整將讓帶著年幼子女度假返國的家庭受惠。根據 2025 年英 國入境旅客數據的估算，此次新措施的推動，在未來的一年將有 150 萬 名兒童可與家人一同使用電子通關閘門入境，有家庭的旅客也不需要在 海關等候太久。（20 分）

(二)英翻中The Canadian government has advised international students who intend to study in Canada to be cautious about getting scammed when they apply for a student visa. For example, the following warning signs could lead to cases of fraud. These entail applying for a student visa without the need to submit a letter of acceptance from a recognized learning institution in Canada, paying a certain amount of fees to guarantee the gaining of scholarship, staying longer than the length of your study permit without the need to applying for an extension, promising you to obtain a work permit or a permanent residence straight after your graduation, and asking you to send documents or payment though social media.（20 分）

二、英文作文（35 分）As people nowadays travel or migrate more widely and frequently around the globe, the job of immigration officers especially at the airport has become more significant than ever. Problems that an immigration officer might encounter include incomplete travel documents, expired visas, unclear purposes of entry, the use of forged or altered documents, and inconsistent statements from travelers. When such cases happen, immigration officers should conduct further inspection and even arrange interviews with targeted travelers. The mastery of professional English communication skills has thus been a must for each officer. Discuss the importance of professional English communication for immigration officers working at international airports in 250 words. Please express your thought with illustrations or concrete examples.

 (一)分散式資料庫(5 分)

115年 - 115 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：數論#140909

114年 - 114 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：數論#127779

107年 - 107 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#74240

105年 - 105 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#55617

104年 - 104 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#42733

103年 - 103 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#43241

102年 - 102 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#44082

101年 - 101 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#44636

100年 - 100 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#45335

99年 - 99 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#46534