10. (10 points) Evaluate the line integral dy, where C is the arc of the the circle x² + y²= 4 traversed counter-clockwise from (2,0) to (-2,0).

詳解 (共 1 筆)

助人為本

詳解 #7397607

2026/06/07

所以這題線積分我們可以用green定理來解

不過前提是要封閉的

而從題目可以知道積分範圍只有上半圓

所以關鍵就是要把它補起來，最後再把它扣掉

所以這題第一步設定封閉曲線和區域

令C為要求的是上半圓弧

令C1為x軸上的直線段

所以這樣就形成一個逆時針的封閉曲線

所以用green定理

所以前面的函數第一個對y做偏微，第二個對x做偏微

第三步計算區域的二重積分(利用極座標)

因為區域是半圓，被積分函數有x^2+y^2，轉換成極座標最快的

再來下一步我們計算補上去的C1

所以再把總積分再扣掉

12pi-4