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研究所、轉學考(插大)-基礎數學
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109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：基礎數學#147039
> 申論題
3. (10%) Evaluate the integral
$$E = \int_{0}^{L} \frac{\lambda c}{4\pi\delta(x^2 + c^2)^{3/2}} dx$$
Where $c, \lambda, \delta, L$ are constants.
相關申論題
4. (10%) Evaluate the double integral $$\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{4} x e^{-y^2} dy dx$$
#603553
5. (10%) Let the function $f(t) = \sin(t^2)$ as shown in Figure 2. Consider two areas $A(x)$ and $B(x)$ for $x < 1.5$, where $A(x)$ represents the triangular area, while $B(x)$ designates the definite integral of $f(t)$ from $t = 0$ to $t = x$. Find $$\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{B(x)}$$
#603554
二、(50%) (所有題目請敘述計算過程，無計算過程不給分) 1. Let $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ (a) Write down the characteristic polynomial of \( A \) and use it to find the eigenvalues. (4%)
#603555
(b) Find the eigenspaces of \(A\). (5%)
#603556
(c) Orthogonally diagonalize the matrix \( A \). (You need to find out an orthogonal matrix \( P \) and a diagonal matrix \( D \) such that \( P^T AP = D \).) (10%)
#603557
2. Let $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k$ be vectors in a vector space V. Please show that (a) \(\operatorname{span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k\}\) is a subspace of V. (10%)
#603558
(b) \(\operatorname{span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k\}\) is the smallest subspace of \(V\) that contains \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k\). (4%)
#603559
3. Let \( S = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k\} \) be an orthogonal set of nonzero vectors in a vector space \( V \). Please show that the vectors in \( S \) are linear independent. (10%)
#603560
4. Let \( T: P_2 \to P_2 \) be the linear transformation defined by $$T(p(x)) = p(2x - 1).$$ Please find the matrix of T with respect to the basis $\mathcal{E} = \{1, x + 1, x^2\}$. (7%)
#603561
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