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5. (20%) For

Find an expression for Aⁿ, where n is an arbitrary positive integer.

相關申論題

1. (14 points) Consider the following function:$$ f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 1; \\ 2x, & x \geq 1. \end{cases} $$Use the $ \epsilon $-$\delta $ definition of the limit to show that $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $. | | | | | |

(a) (3 points) Find the partial derivatives at $(0, 0)$ and the gradient vector $ \nabla f(0, 0) $.

(b) (6 points) Use the definition of the directional derivative to find $ D_u(0, 0) $ for all unit vectors $ \mathbf{u} = (a, b) $.

(c) (6 points) Is $ f $ continuous at $(0, 0)$? How about differentiability? | | | | | |

(a) (6 points) Let $ f(x) $ be a continuous function. Show that if $ f(x) $ has two local maxima, it also must have a local minima.

(b) (8 points) Show that part (a) becomes wrong for a function of two variables by finding all local maxima and minima of the function:$$ f(x, y) = - (x2 - 1)2 - (x2 y - x - 1)2.

(a) (7 points) Evaluate$$ \int \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} \, dx. $$

(b) (7 points) Evaluate$$ \int_0^1 \frac{dx}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}. $$

(a) (7 points) Use a suitable change of variable to compute$$\iint_R (x + y)^2 e^{x^2 - y^2} \mathrm{d}A,$$where $R$ is the square with vertices $(1,0), (0,1), (-1,0)$ and $(0, -1)$

(b) (7 points) Evaluate$$\iiint_{x^2 + y^2 + z^2 \leq 1} e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \mathrm{d}V.$$

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