5. Find the definite integral \( \int_0^4\int_0^{\sqrt{1 - x^2}}e^{x^2 +y^2}dydx = ? \)

II. Linear Algebra1. (10%) Suppose $\underline{x}$ and $\underline{y}$ are two linearly independent vectors in $R^n$, and let U be the span of $\underline{x}$ and $\underline{y}$, that is $U = \text{span}\{\underline{x}, \underline{y}\}$. Let $A = \underline{x}\underline{y}^T + \underline{y}\underline{x}^T$.Prove that the null space N(A) is orthogonal to U, meaning every $\underline{v}$ in N(A) is orthogonal to every $\underline{w}$ in U.

(a) \( (10\%) \) Show that \( P = QQ^{T} \)

(b) (5%) Let \( Q = \left[ \underline{q}_1 \quad \underline{q}_2 \quad \dots \quad \underline{q}_n \right] \). Show that \( \underline{x} \) can be written as a linear combination of \( \underline{q}_1, \underline{q}_2, \dots, \underline{q}_n \) and represented by$\underline{x} = (\underline{q}_1^T\underline{b})\underline{q}_1 + (\underline{q}_2^T\underline{b})\underline{q}_2 + \dots + (\underline{q}_n^T\underline{b})\underline{q}_n$

3. Let $L: R^2 \to R^2$ denote the mapping of a vector $\underline{x}$ onto its orthogonal projection on a line l passing through the origin, which forms an angle $\theta$ with the X-axis as shown in Figure 2. Let A be the matrix that corresponds to this mapping, i.e., $L(\underline{x}) = A\underline{x}$. Find A by each method below.(a) (10%) Method 1: According to the formula \( A = \left[L\left(\underline{e}_1\right)L\left(\underline{e}_2\right)\right] \), where \( \underline{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) and \( \underline{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \), \( A \) is obtained by evaluating the mappings on the standard basis vectors \( \underline{e}_1 \) and \( \underline{e}_2 \).

i. First, apply $L_{-\theta}$ as a clockwise rotation about the origin by $\theta$ radians. Determine $A_1$ such that $L_{-\theta}(\underline{x}) = A_1\underline{x}$.

ii. Next, carry out $L_x$ as an orthogonal projection of any vector $\underline{x}$ onto the X-axis. Determine $A_2$ such that $L_x(\underline{x}) = A_2\underline{x}$.

iii. Finally, execute a counterclockwise rotation $L_\theta$. Determine $A_3$ such that $L_\theta(\underline{x}) = A_3\underline{x}$. Calculate $A = A_3A_2A_1$. (The result should match the answer given in part (a).)

(一)這兩種理論如何解釋直播主及其所屬團體之間的暴力犯罪形成？以上理論的解釋重點有何差異？你認為哪一個理論較為適用？

(二)從上述理論探討媒體傳播在這些暴力行為中扮演的角色？以及這些暴力犯罪再透過媒體傳播出去後，可能會如何影響社會上的暴力發生頻率及程度？

二、在許多犯罪事件中，犯罪人和被害人時常難以區分，「直播主之亂」即為一例，兩派人馬(或團體成員)之間的衝突與報復事件衍生一連串的犯罪。在犯罪學或被害者學的理論中，有哪些在探討此種被害人變成加害人、或加害人變成被害人的現象？請至少提出兩個理論並舉例說明之(25分)。

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：基礎數學#146995

115年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：基礎數學#146989

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班入學考試_統計學系﹕基礎數學#130312

112年 - 112 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試試題_統計學系：基礎數學#130257

112年 - 112 國立中央大學_碩士班考試入學試題_統計研究所碩士班：基礎數學#130249

112年 - 112 國立中山大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_應數系碩士班/甲組:基礎數學#130245

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):基礎數學#105322

110年 - [非官方正解]110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計所:基礎數學#105296

110年 - 110 國立中山大學碩士暨碩士專班招生考試_應數系碩士班/甲組:基礎數學#104270

110年 - 110 國立臺北教育大學_碩士班招生考試_數學暨資訊教育學系數學教育：普通數學(含數學教材教法)#99455