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3. 以下是課本對於自然常數 e 的介紹:數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 為嚴格遞增數列,而 \(e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284 \dots\)某日建仔用電腦(Excel 軟體)計算 \((1 + \frac{1}{10})^{10}, (1 + \frac{1}{100})^{100}\),\((1 + \frac{1}{1000})^{1000}, \dots, (1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的值,卻驚訝發現:當 k = 15 時,\((1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的計算結果是 \(3.035035207 \dots\),截圖如下: 為確認是電腦的計算出了問題,請證明:(1)\[(1 + \frac{1}{n})^n\]\[= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{n-1}{n})\](6) (2)對於 \(n = 1, 2, 3, \dots\),數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 的每一項皆小於 3。

2.建仔欲利用環形面積的低估與高估,來證明半徑為 r 的圓面積 \(A = \pi r^2\)。他首先將半徑 3 等分,然後利用同心圓劃分出三個區域,分別為區域 1、區域 2 和區域 3,如下所示:接著,建仔將上表中對於 ?? 的估算寫成不等式:現在,請重新將半徑 ?? 等分並仿照建仔的方法估算 ??,然後使用夾擠定理證明圓面積公式? = ??2(12 分)

1.在校慶園遊會中,創意行銷扮演著相當重要的角色。已知建仔攤位專賣紅茶,計畫推出一項名為「紅茶容量加大連連」的促銷活動。在這項活動中,當顧客支付 20 元後,必須投擲一個公正硬幣。如果硬幣投擲出反面則投擲結束,顧客將獲得 500 cc(立方公分)的紅茶;但如果硬幣投擲出正面,然後再次投擲出反面,顧客將獲得的紅茶量為 500 + 250 cc。若連續投擲 2 次正面,然後才投擲出反面,則顧客獲得的紅茶量為 500 + 250 + 125 cc,依此類推。若連續投擲 n - 1 次正面,然後才投擲出反面(總共投擲了 n 次硬幣),顧客將獲得的紅茶量為\[500 + 500 \times \frac{1}{2} + \dots + 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \text{ cc} 。\]然而,700 cc 紅茶的所有成本是 20 元,因此當支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量超過 700 cc 時,建仔攤位會虧本。為了評估這個促銷活動的可行性,請計算支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量的數學期望值。(12 分)

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46.關於脛骨旋轉(tibial torsion)角度的成長變化,下列敘述何者正確? (A)5 歲較 1 歲及 3 歲的脛骨外轉角度為大 (B)5 歲較 1 歲及 3 歲之脛骨外轉角度為小 (C)5 歲較 1 歲的脛骨外轉角度為大;但較 3 歲的為小 (D)5 歲較 1 歲的脛骨外轉角度為小;但較 3 歲的為大

21 甲循高考分發至教育部秘書處服務,已工作 2 年。甲於現階段不可以轉調到下列何機關? (A)臺北市政府教育局 (B)國家教育研究院 (C)國家圖書館 (D)教育部青年發展署

5. 依「檔案法」規定,國家檔案至遲應於三十年內開放應用,其有特殊情形者,得經下列哪一機關同意,延長期限? (A)行政院 (B)立法院 (C)司法院 (D)監察院

6. 依「國有公共財產管理手冊」規定,重大災害後立即辦理財產狀況之檢查,稱為? (A)定期檢查 (B)不定期檢查 (C)緊急檢查 (D)災後檢查

22.依據中華藥典,有關製劑之敘述,下列何者錯誤? (A)氣化噴霧劑係為加壓下包裝之製劑,可供皮膚局部、鼻、口腔或肺使用 (B)推進劑在內相之泡沫噴霧劑,可噴出安定之泡沫 (C)吸入劑應置於緊密容器內貯存 (D)吸入劑係將藥品溶液,自鼻腔或口腔吸入呼吸道,僅作用於局部之製劑

7.呼吸酸中毒發生之後會有腎臟代償反應。一般而言,腎臟對呼吸酸中毒的代償反應,會在多久之後達到平衡? (A)3~5 分鐘(B)3~5 天(C)3~5 週(D)3~5 個月