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學習重點 能分清楚自變數與應變數，依重量、價錢或成績調整情境，建立 y＝kx＋b 或 y＝kx 的關係式。 理解斜率代表「x 每增加一單位，y 所增加的量」；截距的意義要依變數的定義解讀。 能由增加量、已知交易資料或兩點座標，求出一次函數的係數。 能將兩組對應條件列成二元一次聯立方程式求係數，並將結果代回驗算。 能辨別總重量與淨重量、折扣前後金額，以及人數與累積人數，避免用錯資料。 核心觀念 一、一次函數的形式與係數意義 本單元的線型關係可寫成 y＝kx＋b。其中 x 為自變數，y 為隨 x 改變的應變數；k 是斜率，b 是 y 軸截距。「線型函數」包含一次函數（k≠0）與常數函數（k＝0），圖形都是直線；題目說「成線型函數關係」，就是可以設成 y＝kx＋b 來求解。 斜率 k＝y 的變化量÷x 的變化量，也就是 k＝(y₂－y₁)÷(x₂－x₁)。例如 x 是公斤數、y 是元數，斜率的單位就是「元／公斤」。截距 b 則是將 x＝0 代入公式所得的 y 值；是否具有實際情境意義，要看 x＝0 是否在合理範圍內。 關係式特徵判斷重點 y＝kx圖形通過原點沒有固定加減項，y 與 x 成正比 y＝kx＋b，b≠0圖形不通過原點含固定費用、折扣或重量扣除等因素 解題時先寫明「x 代表什麼、y 代表什麼」，再判斷是否有固定項，不能只看見「單價固定」就一律認定截距為零，也不能看見題目出現「減 5 元」就一律認定有截距。 二、重量與價錢：先用增加量求單價，再扣出空籃重量 當同一商品的單價固定時，單價＝增加的價錢÷增加的商品重量。因為前後使用同一個容器，容器重量不變，取差後即可排除容器的影響。 例如增加 0.5 公斤商品，多付 20 元，表示每公斤單價為 20÷0.5＝40 元。0.5 公斤是半公斤，因此每公斤單價是增加金額的兩倍，而不是 20 元。 設含籃總重量為 x 公斤，空籃重量為 c 公斤，商品價錢為 y 元，則淨重量為 x－c，故： y＝40(x－c)＝40x－40c。 已知含籃總重量為 18 公斤、商品金額為 620 元，可先求商品淨重量為 620÷40＝15.5 公斤，再由總重量減去淨重量，得到空籃重量為 18－15.5＝2.5 公斤。 也可以直接用兩點求直線：以（總重量，價錢）表示，兩筆資料為 (18，620) 與 (18.5，640)。斜率 k＝(640－620)÷(18.5－18)＝40，代入得 620＝40×18＋b，b＝－100，所以 y＝40x－100。價錢為 0 時對應的總重量就是空籃重量：0＝40x－100，x＝2.5。 從係數來看，y＝kx＋b 中 b＝－kc，因此 空籃重量 c＝－b÷k，也就是直線與 x 軸交點的橫坐標。本例截距是－100（單位是元），空籃重量是 2.5 公斤，兩者不可混為一談。 在此情境下，實際總重量須滿足 x≥c。公式延伸至 x＝0 所得的負截距只是直線的代數性質，不代表真的會支付負價錢。 三、折扣與單價：先還原原價，再套用購買條件 遇到「自備容器減固定金額」，應先分清楚商品原價與實際付款。設每公克單價為 k 元，購買 x 公克，原價為 kx 元；若符合減 5 元的條件，付款才是 kx－5。 例如購買 250 公克且自備容器，實付 295 元，應列出 250k－5＝295。先把折扣加回，得 250k＝300，因此 k＝1.2 元／公克（即 6/5 元／公克）。 求出單價後，必須重新檢查要建立公式的對象是否符合優惠條件： 購買條件付款關係式函數類型 沒有自備容器y＝1.2x（＝6/5 x）正比，圖形過原點 自備容器，符合減 5 元條件y＝1.2x－5（＝6/5 x－5）截距為－5 折扣只用來還原已知交易的商品原價，不能因為計算單價時曾經使用折扣，就把減 5 元套到沒有自備容器者的付款公式。選項常以分數形式呈現，要能辨認 1.2＝6/5，並與 5/6、295/250 等錯誤係數區分。 四、由兩點求一次函數解析式 已知直線通過 P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，且 x₁≠x₂，可依下列步驟求解析式： 求斜率：k＝(y₂－y₁)÷(x₂－x₁)。 代入其中一點：由 y₁＝kx₁＋b，求得 b＝y₁－kx₁。 寫成 f(x)＝kx＋b，再將另一點代入驗算。 例如通過 (1，5) 與 (3，9)：k＝(9－5)÷(3－1)＝2，b＝5－2×1＝3，得 f(x)＝2x＋3；代入 (3，9) 檢查：2×3＋3＝9，正確。 也可以先寫成點斜式 y－y₁＝k(x－x₁)，再整理為 f(x)＝kx＋b。計算座標差時，分子與分母必須採用相同的相減順序，不能分子用 y₂－y₁，分母卻用 x₁－x₂。 若需要求座標軸交點：與 x 軸相交時令 y＝0；與 y 軸相交時令 x＝0。因此 k≠0 時，與 x 軸交點 A 為 (－b÷k，0)，與 y 軸交點 B 為 (0，b)。若兩點的 x 座標相同而 y 座標不同，所決定的是鉛直線，不能寫成 y＝f(x) 的函數形式。 申論題作答時，要依序寫出「斜率計算 → 代點求截距 → 寫出 f(x) → 代回驗算」，數值須依題目實際給定的兩點座標計算。 五、成績線性轉換：由兩組對應值聯立求係數 設原始成績為 x，調整後成績為 y，公式為 y＝Ax＋B。A 控制分數差距的倍數，B 則將各分數統一加上相同數值。 若須將原始成績的眾數調成指定分數，應先從統計表找出眾數。眾數是出現人數最多的成績值，不是最多的人數本身，也不是累積人數最大的那個成績。 若表中只有依成績遞增排列的累積人數，則各成績的人數＝本列累積人數－前列累積人數；首列人數就是首列累積人數。找出人數最多的一列，再讀取其對應成績。若表中同時列出人數與累積人數，直接看「人數」欄即可。 設讀出的原始眾數為 m，要求它調成 70 分，且原始 90 分調成 100 分，便列成： Am＋B＝7090A＋B＝100 兩式相減可消去 B，得到 A(90－m)＝30。因此在 m≠90 時： A＝30÷(90－m)，B＝100－90A。 例如若眾數為 60，則 A＝30÷30＝1，B＝100－90＝10，公式為 y＝x＋10；代回檢查：60→70、90→100，皆符合。實際作答時須以原表讀出的眾數代入計算。 若 m＝90，便等於要求同一個輸入同時對應 70 與 100，條件互相矛盾，無解。求得係數後，應將兩組條件各代入一次，確認皆符合目標分數。 常考陷阱 直接用付款除以含籃總重量：620÷18 不是單價，因為 18 公斤含竹籃；應先用增購的重量與金額求單價。 把增加 0.5 公斤的價錢當成每公斤單價：20 元是半公斤的價錢，每公斤應為 40 元；若誤用 20 元／公斤，會算出淨重 31 公斤，大於總重量，明顯不合理。 把截距當作空籃重量：以總重量為 x、價錢為 y 時，截距的單位是元；空籃重量是價錢為 0 時的 x 值，即 －b÷k。 算出淨重量就停下：15.5 公斤是番茄重量，題目問的是空竹籃，還要用 18 減去。 用折扣後付款直接除以重量：295÷250＝1.18 會低估單價；固定折扣應先加回，得 300÷250＝1.2。 將優惠套用到不符合條件的人：沒有自備容器時，付款公式是 y＝1.2x，不應寫成 y＝1.2x－5；也不能寫成 y＝1.2x＋5。 單價倒數：每公克的價錢是 300÷250＝6/5，不是 250÷300＝5/6。 斜率分子、分母相減方向不一致：兩點的順序必須一致，否則斜率正負會算錯。 混淆座標軸交點：x 軸上的點是 y＝0；y 軸上的點是 x＝0。 把累積人數當作各分數人數：須先取相鄰差，才能正確判斷眾數。 把眾數的「人數」代入公式：代入 Ax＋B 的應是眾數所對應的成績，而不是人數。 只用一組條件求兩個係數：求 A、B 需要兩組不同輸入的對應條件；申論作答要呈現列式、消去與代回。 記憶口訣 增量求單價，總重扣空籃；折扣先加回，公式看條件。 兩點先求斜，再代求截距；累積先作差，兩組列聯立。