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學習重點 能將「每單位時間固定增加或減少」寫成一次函數，辨認初始量、變化率與合理的時間範圍。 掌握「函數值差＝斜率×自變數差」，不必求出完整函數式，也能計算不同區間的函數值差。 依斜率判斷函數遞增或遞減，再利用閉區間的端點求最大值與最小值。 分清楚「兩變數的增量成固定比例」與「兩變數本身成正比」，並能說明常數項的影響。 核心觀念 一、一次函數：初始量與固定變化率 一次函數可寫成 f(x)＝ax＋b，其中 a 為斜率，表示 x 每增加 1 單位，函數值改變多少；b＝f(0)，表示 x＝0 時的函數值。嚴格而言，一次函數的 a≠0；若 a＝0，則為常數函數，可一併用來理解區間極值的特殊情況。 應用題建立式子時，可先寫成現在的量＝初始量＋每單位時間的變化量×時間。若某物持續縮短，變化量須帶負號；「每小時減少多少」通常描述正的減少速率，但函數的斜率應為負。 二、燃燒問題：先把總長度轉成每小時減少量 設蠟燭原長為 H，且 H＞0。若以固定速率燃燒，T 小時恰好燒完，則每小時減少 H／T，點燃 t 小時後的剩餘長度為L(t)＝H－(H／T)t＝H(1－t／T)，適用範圍為 0≤t≤T。 兩枝原長相同的蠟燭，可共用同一個 H。細蠟燭的燃燒時間為 3 小時，粗蠟燭為 5 小時，於兩枝均尚未燒完時，可分別表示為： 細蠟燭剩餘長度：H(1－t／3)。 粗蠟燭剩餘長度：H(1－t／5)。 若要求粗蠟燭剩餘長度是細蠟燭的 2 倍，就依文字順序列出H(1－t／5)＝2H(1－t／3)。兩邊除以 H，得 1－t／5＝2－2t／3，整理為 (2／3－1／5)t＝1，因此 (7／15)t＝1，得 t＝15／7 小時。 另一種簡便設法：取 3 與 5 的最小公倍數，設蠟燭原長 15 單位，則細蠟燭每小時燒 5 單位、粗蠟燭每小時燒 3 單位。列式 15－3t＝2(15－5t)，得 7t＝15，同樣 t＝15／7 小時。因為兩枝原長相同，設成任何正數都不影響答案。 驗算時，細蠟燭剩下原長的 2／7，粗蠟燭剩下原長的 4／7，確實為 2 倍；且 15／7＜3，符合兩枝皆尚未燒完的條件。申論作答應呈現設未知數、列長度式、建立倍數方程式、解出時間及檢查範圍，並寫明時間單位。 三、函數值差：常數項消去，只看斜率 對 f(x)＝ax＋b，任取兩個自變數 u、v，有： f(v)－f(u)＝(av＋b)－(au＋b)＝a(v－u)。 因此，只要知道一段區間的函數值差及自變數差，就能求出斜率 a＝[f(v)－f(u)]／(v－u)，其中 v≠u。再將斜率乘上新區間的自變數差，即可得到新的函數值差，不需要求出 b。 也可以直接使用比例關係：新的函數值差＝已知的函數值差×新的自變數差／已知的自變數差。例如，自變數增加 3 時函數值增加 12，則斜率為 4；自變數增加 7 時，函數值就增加 28。又如自變數增加 2 時函數值增加 10，斜率為 5，則自變數增加 5 時函數值增加 25。 相減順序必須一致：f(v)－f(u) 對應 v－u。若只把其中一個差顛倒，答案就會差一個負號。 四、閉區間極值：判斷方向，再代入端點 設自變數位於閉區間 m≤x≤n，且 m＜n。「閉區間」表示兩端點都包含在範圍內。一次函數的變化方向固定，因此最大值與最小值可由端點求得。 斜率條件變化情形最小值最大值 a＞0x 越大，f(x) 越大f(m)f(n) a＜0x 越大，f(x) 越小f(n)f(m) a＝0函數值恆等於 bbb 實際計算可採兩種方式：先看斜率正負，直接選取對應端點；或分別算出 f(m)、f(n)，再比較大小。後者尤其適合負數較多、容易看錯符號的式子。 要分清楚「在哪個 x 取得最小值」與「最小值是多少」：前者回答自變數，後者回答代入後的函數值。若問最小值，只寫端點的 x 值並未完成作答；選項中常同時出現端點值與函數值，須確認選的是代入後的結果。 五、固定增量關係與正比關係 一次函數 y＝ax＋b 一定滿足Δy＝aΔx，也就是 x 的改變量固定時，y 的改變量也固定。但若要說 y 與 x 成正比，必須能寫成y＝kx，亦即常數項為 0，圖形通過原點。 比較項目一般一次函數 y＝ax＋b正比關係 y＝kx 增量關係Δy＝aΔxΔy＝kΔx 兩變數的比值b≠0 時，y／x 不固定x≠0 時，y／x＝k 圖形是否通過原點視 b 是否為 0 而定一定通過原點 以攝氏 C 與華氏 F 為例，換算式為F＝(9／5)C＋32。因此攝氏每增加 1 度，華氏增加 9／5 度；但因為有常數項 32，不能推論 F：C＝9：5，也不能說華氏溫度與攝氏溫度成正比。 快速檢查的方法是代入具體數值：C＝0 時 F＝32，圖形沒有通過原點；C＝100 時 F＝212，212：100 不等於 9：5。真正固定的是溫度改變量的比例，即 ΔF＝(9／5)ΔC；當 ΔC≠0 時，ΔF：ΔC＝9：5。所以三種敘述中，只有「攝氏每增加 1 度，華氏增加 9／5 度」正確。 常考陷阱 把函數值差直接搬到不同區間：斜率固定不代表所有區間的函數值差都相等。須先比較自變數差；區間長度變為幾倍，對應的函數值差才變為幾倍。選項中與已知差相同的數值，或把區間長度相乘、相加後的數值，多半是誘答。 把函數值差當成斜率：已知兩個函數值相差多少，還要除以對應的自變數差，才能得到每增加 1 單位的變化量。 認為最大值一定在右端：只有斜率為正時成立。斜率為負時，右端取得最小值，左端取得最大值。 負數代入漏括號：計算含負端點的函數值時，應先以括號代入，再處理乘法與加減，避免把負負得正算錯。 把端點的 x 值當成答案：題目問最小值時，答案是函數值，不是取得最小值的位置。 看到直線就判為正比：直線只能說明線性變化；判斷正比還要檢查常數項是否為 0、是否通過原點。 把斜率寫成兩變數本身的比：斜率對應「改變量之比」。有固定加上的常數時，兩變數的數值比通常不固定，「F：C＝9：5」即屬此類錯誤。 把燒完時間直接當作長度減少速率：3 小時燒完表示每小時減少原長的 1／3；燒完所需時間越短，每小時減少的長度越多。 倍數等式寫反或未查範圍：「粗的剩餘長度是細的 2 倍」應寫成粗＝2×細；解出時間後，須確認仍在所用燃燒模型的適用範圍內，不能接受負的剩餘長度。 記憶口訣 差除差，求斜率；斜率乘差，求新差。 正斜率，左小右大；負斜率，左大右小。 正比先看過原點，固定增量看斜率。 燃燒先算每時減，倍數列式查時間。