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學習重點 掌握三角形面積＝底×對應高÷2；選不同邊作底時，必須配合該邊的高，算出的面積都相同。 能用沿高分割、複製拼合的方式，說明以三角形各邊及其對應高構成的長方形，面積都是原三角形的兩倍，所以這些長方形面積相等。 辨識「等底等高」與「等積異形」的關係，能從教學活動判斷教師要建立的面積概念。 已知三邊時，先檢查能否構成三角形，再用海龍公式求面積；能找出題目中互相矛盾或不可能的數據，並只改一個數據讓題目合理。 核心觀念 一、底與高必須成對，三種選法得到相同面積 三角形的任一邊都可以作為底；對應的高，是從這條邊的對面頂點，到底邊所在直線的垂直距離。高不一定是圖中直立的線段，也不一定在三角形內部；判斷關鍵是與所選的底垂直。 設三邊為 a、b、c，a 邊上的高為 h₁、b 邊上的高為 h₂、c 邊上的高為 h₃，面積為 S，則： S＝a×h₁÷2＝b×h₂÷2＝c×h₃÷2。 因此 a×h₁＝b×h₂＝c×h₃＝2S。同一個三角形換一條邊作底，只是計算方式改變，面積不會改變。底較長時，對應的高就較短，不能只看底的長短判斷乘積大小。 二、三個外包長方形為什麼面積相等？ 在不等邊銳角三角形中，從任一頂點向對邊作高，垂足都落在對邊內部。以任一邊作為長方形的一邊，讓對面頂點落在長方形的對邊上，這個長方形的兩個邊長，恰好就是所選的底及其對應高。所以每個長方形面積都等於底×高，也就是三角形面積的兩倍。 三個長方形雖然有的細長、有的寬扁，但都是同一個三角形面積的兩倍，因此三個長方形面積相等。若學童說「不相等，某一個面積最大」，這個判斷是錯誤的；其迷思在於用外觀、周長或某一邊的長度判斷面積大小。 向國小學童說明時，可用分割與複製拼合： 從底邊的對面頂點向底邊畫高，把原三角形分成左右兩個直角三角形，同時把外包長方形分成左右兩個小長方形。 每個小長方形的對角線把它分成兩個一樣的直角三角形，其中一個就是原三角形的一部分；也可以把該直角三角形複製一份、轉一轉拼上去，剛好填滿小長方形。 所以左、右兩塊在長方形中都各占一半，合起來原三角形正好占整個外包長方形的一半，即長方形是三角形的兩倍。 三個圖都是同一個三角形的兩倍，因此三個長方形面積一樣大。 申論作答要同時寫出「操作過程」與「結論」：沿高分割→每個小長方形由兩個相同的直角三角形拼成→長方形是三角形的兩倍→三個長方形面積相等。也可補充讓學童剪下、疊合或用方格紙數格子驗證。 補充：若是鈍角三角形，以鈍角兩旁的邊作底時，高的垂足落在底邊延長線上，這種畫法就無法讓長方形以該邊為一邊又包住三角形；題目限定銳角三角形，正是為了讓三種畫法都成立。 三、等底等高與等積異形 等底等高的三角形，面積相等。「等底」可以是共用同一條底邊，也可以是底邊長度相同；「等高」則是頂點到底邊所在直線的垂直距離相同。 典型教學活動是固定一條底邊，讓對面頂點沿著一條與底邊平行的直線移動，畫出好幾個形狀不同的三角形。因為兩條平行線間的距離處處相等，所以高不變；底也不變，面積自然相等。頂點位置改變，三角形外形卻不同，這就是等積異形。 概念意義判讀關鍵 等底等高底長相同，對應高也相同是保證三角形面積相等的條件 等積異形面積相同，形狀不同不要求邊長、角度或周長相同 全等形狀、大小相同，可完全疊合條件比面積相等更強 辨識教學目標時，要看活動凸顯的數學關係。圖中若是「同一底邊、頂點在平行線上、形狀各不相同的多個三角形」，主要教學活動就是認識等積異形、等底等高。平行線只是用來維持等高的工具，不是活動主角；圖中雖然可能同時出現銳角、直角、鈍角三角形，也不是在教三角形依角分類。 反過來說，等面積不一定等底等高。只要底與高的乘積相同，面積就相同。例如底 6、高 4 與底 8、高 3 的三角形，面積都是 12 平方單位。 四、海龍公式：先確認三邊合理，再求面積 已知三邊長 a、b、c 時，先求半周長 s＝（a＋b＋c）÷2，再代入： S＝√［s（s－a）（s－b）（s－c）］。 海龍公式不必先求高。計算時依序列出 s、s－a、s－b、s－c，再將根號內的乘積分組、找平方因數化簡。例如三邊 13、14、15：s＝21，S＝√（21×8×7×6）＝√7056＝84。 套公式前，必須確認三邊能構成三角形：任兩邊之和大於第三邊。將邊長由小排到大，只要檢查「最短邊＋次短邊＞最長邊」即可。若兩短邊之和等於最長邊，三點共線，根號內為 0；若小於最長邊，根號內會出現負數，都表示無法圍成三角形。即使圖畫得像三角形，仍須以標示的數據為準。 五、只修改一個數據，如何讓題目合理？ 題目「不合理」常見兩種情形，要先判斷是哪一種： 情形判斷方法修改原則 三邊無法構成三角形兩短邊之和 ≤ 最長邊改其中一邊，使三角形不等式成立 數據過多而互相矛盾（例如同時給三邊與高）用海龍公式算出面積，與底×高÷2 比對；或檢查高與兩旁邊長是否符合畢氏定理改高或改一邊，使兩種算法結果一致 三角形不等式：保留兩邊 a、b，只改第三邊 x，必須 ｜a－b｜＜x＜a＋b，兩端都不能取等號。例如保留 4 與 7，第三邊須大於 3、小於 11，整數可選 4～10。 高與邊長的一致性：從某頂點出發的兩邊，都不能比這個頂點到對邊的高還短（高是最短的距離）。以三邊 13、14、15 為例，14 邊上的高必為 84×2÷14＝12，垂足把 14 分成 5 與 9，且 5²＋12²＝13²、9²＋12²＝15²。若圖上標示的高不是 12，就與三邊矛盾，可把高改成 12，或刪去一個數據。 作答時要明確寫出「把哪一個數據改成多少」，並附上驗證（不等式成立，或兩種面積算法一致）；只說「把某邊改小」不夠完整。 常考陷阱 「看起來最寬、最大的長方形，面積最大」：錯。以同一三角形的底與對應高構成的長方形，面積都等於該三角形的兩倍，彼此相等。 「複製一個三角形，一定直接拼成長方形」：兩個全等三角形一般拼成平行四邊形。要說明外包長方形的倍積關係，應先沿高分割成兩個直角三角形，再各自複製拼合。 「底相同，所以面積相同」：還要高相同；只有等高也不足以保證等積。 「高就是斜邊或圖中直立的邊」：高必須垂直於所選底邊所在直線。 「等積就是全等」：面積相同的三角形，形狀、邊長、角度及周長都可能不同。 「圖中有平行線，主要就在教平行線」：平行線只是維持等高的工具；頂點在平行線上移動、形狀改變而面積不變，重點是等積異形與等底等高。 「圖中有各種角的三角形，就是在教角的分類」：要看活動比較的是面積，不是角。 「給了三邊，就能直接套海龍公式」：必須先檢查三角形不等式；兩短邊之和等於最長邊也不行。 「數據越多越好」：三邊已能決定三角形，再給高可能互相矛盾，須驗算一致性。 「s 是周長」：s 是半周長，漏除以 2 會使後續全錯。 記憶口訣 底高要配對，長方是兩倍；等底又等高，異形也等積；三邊先檢查，半周再海龍；數據若打架，兩算要一致。