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學習重點 全等三角形形狀、大小完全相同，對應邊等長、對應角相等；旋轉、平移或翻面都不影響全等。 兩個全等的等腰直角三角形可拼出哪些圖形，要由邊長（a、a、a√2）與角度（45°、45°、90°）的限制來判斷。 三角形兩邊向外作正方形時，用「正方形邊等長＋直角」找出符合 SAS 的兩個三角形，推得對應線段必定等長。 翻摺就是沿摺痕作鏡射，翻摺前後的三角形全等；再配合平行線的同位角、內錯角與三角形內角和求角度。 核心觀念 一、全等是拼組與翻摺的共同基礎 兩個三角形全等，表示它們可以完全重合，因此三組對應邊分別等長、三組對應角分別相等。圖形的位置與朝向可以不同，不能因為一個朝上、另一個朝下，就認為它們不全等。 使用全等性質前，應先確定頂點的對應關係。例如，若△ABC與△DEF依序對應，則AB＝DE、BC＝EF、AC＝DF，且∠A＝∠D、∠B＝∠E、∠C＝∠F。對應關係要用相等的邊、角或翻摺前後的位置來追蹤，不能只憑圖形左右排列決定。 二、兩個全等的等腰直角三角形如何拼組 等腰直角三角形的三個內角為45°、45°、90°。設每條直角邊長為a，則斜邊長為a√2。兩片全等，代表兩片的直角邊彼此等長、斜邊彼此等長，但直角邊與斜邊並不等長，只有等長的邊才能完整相接。 拼組是指使用全部圖形，內部不重疊、不留空隙。判斷外形時，要看拼好後的外邊界；兩片相接的線段位於內部，不算外形的邊。 目標圖形能否拼成判斷與拼法 平行四邊形可以讓兩片沿一條直角邊相接，分置於接邊兩側，並使兩片的直角頂點位於接邊的不同端點，可得兩組對邊分別平行的四邊形（兩組邊長為a與a√2）。 等腰直角三角形可以讓兩片沿一條直角邊相接，且兩片的直角頂點重合。未接合的兩條直角邊連成一直線（90°＋90°＝180°），成為長2a的斜邊；兩條斜邊成為大三角形的兩腰。 正方形可以兩片沿斜邊相接、分置兩側。正方形屬於平行四邊形。 正三角形不可以正三角形每個內角都是60°；拼成圖形的每個頂角，只能由原有的45°或90°角組合而成（45°、90°、135°、180°…），永遠湊不出60°。 拼成較大的等腰直角三角形時，兩腰各為a√2，斜邊為2a；兩片的45°角在共同頂點合成90°，另兩個頂角各為45°，邊長與角度都符合等腰直角三角形。 判斷「能否拼成某圖形」的步驟：先列出可用的角（45°、90°）與邊（a、a√2），再檢查目標圖形的每個角能否由這些角組成，每條邊能否由這些邊接成。只要有一個角湊不出來，就不可能拼成。 三、利用正方形建立 SAS 全等 在三角形的邊上向外作正方形，最有用的條件是：正方形四邊等長，相鄰兩邊垂直（90°）。原三角形的一條邊同時是正方形的一條邊，因此可以把它的長度轉移到正方形的另一條邊上。 SAS是「兩邊及其夾角」分別相等。所謂夾角，是由已知相等的兩條邊共同形成的角。例如要使用AB、AC這兩邊，必須比較∠BAC，不能改用∠ABC。 典型圖形：在△ABC中，以AB為邊向外作正方形ABDE，以AC為邊向外作正方形ACFG，連接EC與BG。比較△EAC與△BAG： AE＝AB（正方形ABDE的邊） AC＝AG（正方形ACFG的邊） ∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝90°＋∠BAC；∠BAG＝∠BAC＋∠CAG＝∠BAC＋90°，所以∠EAC＝∠BAG 由SAS得△EAC≅△BAG，因此EC＝BG。這個結論對任何形狀的△ABC都成立，與∠BAC是銳角、直角或鈍角無關。（延伸：可再證明EC⊥BG。） 找兩組等邊：分別利用兩個正方形的邊長相等。 算出夾角：把正方形提供的90°與原三角形的角相加（或相減），兩個夾角都寫成「90°＋同一個角」。 確認 SAS：兩組邊相等，且它們之間的夾角相等，才能判定兩三角形全等。 取出結論：按頂點對應順序，推出所求的對應線段等長。 四、翻摺保留長度與角度 設A翻摺後落在A′，摺痕為DE（D、E分別在AB、AC上），則D、E位置不變，△ADE≅△A′DE。因此AD＝A′D、AE＝A′E，且∠DAE＝∠DA′E、∠ADE＝∠A′DE、∠AED＝∠A′ED。原來頂角∠A的大小，完整保留在翻摺後的∠DA′E。 摺痕是AA′的垂直平分線，也平分翻摺前後兩射線的夾角：∠ADA′＝2∠ADE，因此在D點的平角上，∠BDA′＝180°－2∠ADE；E點同理，∠CEA′＝180°－2∠AED。 五、摺痕平行底邊時的角度關係 若A翻摺後落在BC上，且摺痕DE∥BC，可得一連串關係： 同位角：∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。 翻摺：∠A′DE＝∠ADE＝∠B。 內錯角（DE∥BC）：∠DA′B＝∠A′DE＝∠B，所以△DBA′是等腰三角形，DB＝DA′＝DA，D為AB中點；同理E為AC中點，∠EA′C＝∠C。 在A′點的平角：∠DA′B＋∠DA′E＋∠EA′C＝180°，即∠B＋∠A＋∠C＝180°，與內角和一致。 因此只要由圖中已知角（例如∠1）搬出△ABC的兩個內角，或搬出∠DA′E，就能求出∠A。 標示原頂點與翻摺後頂點，將全等得到的對應角設為相同符號。 利用同位角相等、內錯角相等、同側內角互補轉移角度。 位於同一直線同一側的角和為180°；繞同一點的角和為360°。 最後用三角形內角和180°求出目標角。 角度數值相同，不代表角的位置與用途相同，代入前要先確認已知角是哪兩條線所夾。 常考陷阱 「兩片全等三角形，能拼成任意三角形」：拼出的圖形仍受原有邊長與角度限制。只有45°、90°可用，湊不出60°，所以拼不出正三角形。 「拼出的不是長方形，就不是平行四邊形」：應檢查兩組對邊是否分別平行，不以是否有直角或是否水平擺放判定。 「正方形不能算平行四邊形」：正方形具備平行四邊形的條件，屬於平行四邊形。 「兩片拼不出等腰直角三角形」：直角頂點重合、直角邊相接即可，兩個45°合成新的直角。 「兩邊和一個角相等，就一定全等」：SAS要求的是夾角；角不在兩條已知邊之間，不能直接使用。 「都有90°，所選三角形的夾角就相等」：正方形的直角只是夾角的一部分，要寫成「90°＋∠BAC」才能比較。 「線段大小關係不固定」：已能用SAS證明三角形全等，對應線段就必定等長，不會隨原三角形外觀改變。 「翻摺後的角變小，或自動變成一半」：翻摺保持角度，∠DA′E＝∠A；被摺痕平分的是∠ADA′、∠AEA′這類翻摺前後射線的夾角。 「圖上看起來平行，就能用內錯角」：平行必須來自題設；同時要辨明截線及角的位置。 「把標示角直接代入內角和」：先確認它是內角、外角，還是由數個小角合成的角，必要時先取補角。 記憶口訣 拼組只有四五九十，湊不出六十拼不成正三角；正方兩邊夾九十加角，SAS 一出線段必等長；翻摺角不變，平行搬角，內角和一百八。