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學習重點 辨認「不放回」：抽出的人不再參加後續抽選，因此每一步的總人數與目標類別人數都可能改變。 掌握條件機率乘法原理：連續兩次都符合要求的機率，等於第一次符合的機率，乘以第一次符合後第二次符合的機率。 區分「兩人都是指定類別」、「至少一人是指定類別」及「已知一人符合」等不同事件。 能用依序相乘、計數法與列舉法驗算，並保持分子、分母對抽取順序的處理一致。 熟記小人數情境的結果，例如四人中有兩人符合、依序選出兩人皆符合的機率為 1／6。 核心觀念 一、不放回抽樣：每抽一次，就更新一次人數 不放回抽樣是指抽出的對象不放回母群體，同一個人不會再次被抽中。例如，先選一人擔任某項職務，再從其餘人員中選出另一人，第二次抽選的人數就比第一次少一人。 設共有 N 人，其中 M 人屬於目標類別。在每一步都從剩餘人員中等機率抽選的前提下，第一次抽中目標類別的機率為 M／N。若第一次已抽中目標類別，剩下的總人數為 N－1 人，目標類別則剩 M－1 人，因此第二次抽中目標類別的條件機率為（M－1）／（N－1）。 分母反映剩餘總數，分子反映剩餘目標數。不能只減分母而不減分子，也不能把每次抽選都當成原來的人數。 二、「連續都中」使用條件機率乘法原理 令 A 表示第一次抽中目標類別，B 表示第二次抽中目標類別。兩次都抽中，指的是 A 與 B 同時發生，記作 A∩B。 P（A∩B）＝P（A）×P（B｜A）。 其中 P（B｜A）表示「已知第一次抽中目標類別後，第二次也抽中目標類別」的機率。因此，連續兩次抽中目標類別的機率為： （M／N）×［（M－1）／（N－1）］。 例如，某小組有六人，其中三人具有指定資格，依序抽出兩位不同人擔任兩項職務。兩人都具有資格的機率為（3／6）×（2／5）＝1／5。第二個分數必須依照「第一次已抽中具有資格者」的狀態計算。 若連續抽出更多人，且要求每次都抽中目標類別，就繼續依相同規則相乘。連續三次皆中的機率為（M／N）×［（M－1）／（N－1）］×［（M－2）／（N－2）］，前提是至少有三位目標類別成員可供抽選。 三、小人數情境：四人中有兩人符合 當總人數為 4、目標類別為 2 人（另一類別也是 2 人），依序選出兩人擔任兩項不同職務，求兩人都屬於目標類別： 第一位抽中目標類別：2／4＝1／2。 第一位已是目標類別後，剩 3 人，其中目標類別剩 1 人：1／3。 相乘：（1／2）×（1／3）＝1／6。 列舉驗算：設目標類別為甲、乙，另一類別為丙、丁。依序選兩人的所有安排共 4×3＝12 種；兩人都是目標類別的只有「甲→乙」與「乙→甲」2 種，機率為 2／12＝1／6，與相乘結果一致。 組合驗算：不分職務時，四人任選兩人共 C（4,2）＝6 組，兩人都是目標類別只有 1 組，機率同樣是 1／6。 四、第二次的機率，要看是否附帶條件 「第二次抽中目標類別」與「已知第一次抽中目標類別，第二次再抽中」是不同的問法。在均勻隨機、不放回的抽樣中，若尚未得知第一次的結果，第二個位置抽中目標類別的機率仍為 M／N，因為每個人出現在第二個位置的機會相同。 但在計算「兩次都中」時，乘法公式中的第二項必須使用 P（B｜A），不能直接使用未附條件的 P（B）。抽取結果會改變剩餘組成，因此兩次抽選的類別結果通常不是獨立事件。 五、有職務順序，也能用計數法驗算 兩項不同職務具有角色區別：甲擔任前一項、乙擔任後一項，與乙擔任前一項、甲擔任後一項，是兩種不同的安排。若將順序納入計數，所有可能安排共有 N×（N－1）種；兩人都屬於目標類別的安排共有 M×（M－1）種。 因此，所求機率也可寫成［M×（M－1）］／［N×（N－1）］，與依序相乘完全一致。 若事件只關心兩人是否皆屬於目標類別，也可先不分職務，使用「目標類別中任選兩人的組合數／全體中任選兩人的組合數」。因為每一組兩人都對應兩種職務安排，分子、分母的倍數相同，可以約去。關鍵是分子與分母必須同樣考慮順序，或同樣不考慮順序。 六、先讀懂事件，再決定算式 事件用語意思與計算方向四人中兩人符合的結果 兩人都是目標類別兩次都要符合，使用條件機率相乘。（2／4）×（1／3）＝1／6 恰有一人是目標類別包含「先中後不中」與「先不中後中」兩條互斥路徑，各自相乘後相加。（2／4）×（2／3）＋（2／4）×（2／3）＝2／3 至少一人是目標類別可用 1 減去「兩人都不是目標類別」的機率。1－1／6＝5／6 已知第一次符合，求第二次符合只求更新後的條件機率，不再乘上第一次符合的機率。1／3 三種類別結果「都中」1／6、「恰一人」2／3、「都不中」1／6，合計為 1，可用來檢查計算。 「恰好都是」表示抽出的兩人全部符合指定條件，不表示只有其中一人符合。應依整句語意判斷，不能只看到「恰好」就套用「恰有一人」的算法。 常考陷阱 直接把同一比例平方：寫成（M／N）×（M／N），忽略第一次抽出後的人數變化。四人中兩人符合時會誤得（1／2）×（1／2）＝1／4，這是將不放回抽樣誤當成放回抽樣。 只把總數減一：寫成（M／N）×［M／（N－1）］。四人情境會誤得（2／4）×（2／3）＝1／3；若第一位已是目標類別，目標人數也必須減一。 只把目標數減一：第二次仍用 N 作分母，會誤得（2／4）×（1／4）＝1／8；已抽走一人，總人數也要減一。 把兩個機率相加：題目要求兩人「都」符合，必須算同時發生的機率。相加適用於合併互斥路徑，例如恰有一人符合時的兩種抽取次序。 只算第二次的條件機率：若要求兩次都符合，只寫（M－1）／（N－1）（四人情境為 1／3）會漏掉第一次符合的機率。 只算第一次的機率：誤以為一半是目標類別，答案就是 1／2，忽略了第二次也要符合。 因為有兩個職務而多乘二：依序相乘時，各個具體人員的安排已包含在計算內。兩次都是同一類別只有一條類別路徑，不必額外乘二；四人情境若乘二會誤得 1／3。 計數時混用排列與組合：分母若計算有順序的職務安排（12 種），分子也要有順序（2 種）；不能用無順序的組合數 1 除以有順序的 12，得出錯誤的 1／12。 誤把類別當成等可能結果：「目標、目標」、「目標、非目標」、「非目標、目標」、「非目標、非目標」四條類別路徑未必等可能，不能因此誤答 1／4；應回到各步剩餘人數計算。 記憶口訣 「不放回，人數改；前次中，兩邊減；連續都要，條件相乘。」 「二男二女選兩職，同性都中一六之（1／6）。」 作答時依序確認：是否放回、事件要求什麼、前一步發生後剩下多少人。最後檢查分子與分母是否同步更新，就能穩定列出正確算式。