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學習重點 熟記平方差、和的平方與差的平方公式，能從算式結構判斷適合的改寫方式。 遇到「兩個相近整數相乘再加 1」或「三項式在根號內」，能找出中心數，把根號內改寫成完全平方，直接求出算術平方根。 理解算術平方根必為非負數，掌握「√(a²)＝|a|」，避免直接去掉根號造成正負號錯誤。 能展開含根式的平方，正確處理交叉項、根式乘方與同類項合併。 代入含根式的數值後，先運用公式整理，再檢查結果的正負與大小是否合理。 核心觀念 一、先辨認結構，再選擇乘法公式 本單元的重點是觀察算式能否改寫成容易計算的形式。遇到兩個平方相減，想到平方差；遇到兩項和或差的平方，則要保留中間的交叉項。 名稱公式辨認關鍵 平方差a²－b²＝(a＋b)(a－b)兩個平方相減，可改成和與差的乘積；反過來，「中心數加減同一數」相乘可改成平方差。 和的平方(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²首項平方、兩倍乘積、末項平方。 差的平方(a－b)²＝a²－2ab＋b²交叉項為負，末項平方仍為正。 公式可以正向展開，也可以反向辨認。例如，看到 a²＋2ab＋b²，應想到它是 (a＋b)²。根號內若能整理成完全平方，通常就能直接求出算術平方根，不必先算出很大的數。 二、根號內的式子如何利用公式改寫 處理根號內的算式時，先觀察是否存在「相同中心數加減同一數」、「兩個平方相減」或「三項完全平方」的結構。若有，先用公式化簡，再開平方根，通常比直接展開乘積更有效率。 類型 1：相鄰奇數（或相差 2）的乘積加 1。兩數相差 2 時，中心數就是兩數的平均： (n－1)(n＋1)＋1＝n²－1＋1＝n²，所以 √((n－1)(n＋1)＋1)＝n。 例如，√(101×99＋1)：中心數為 100，根號內＝100²－1＋1＝100²，原式＝100。又如 √(97×99＋1)：中心數為 98，根號內＝98²－1＋1＝98²，原式＝98。關鍵是答案等於中心數，而不是兩個因數中的任一個。 類型 2：相鄰整數乘積的延伸。n(n＋2)＋1＝n²＋2n＋1＝(n＋1)²，結果同樣是兩數的中間數。若相差 4，則 (n－2)(n＋2)＋4＝n²，要補上的數變成 2²＝4，需看清楚加的常數是否恰好補成完全平方。 類型 3：根號內是三項式。要檢查首、末兩項是否為平方，以及中間項是否恰好等於兩者底數乘積的兩倍。例如，100²－2×100×2＋2²＝(100－2)²＝98²，開根號得 98；a²＋6a＋9＝(a＋3)²，因為 9＝3²，且 6a＝2×a×3。不能只因首、末兩項都是平方，就認定整個式子是完全平方。 三、算術平方根與平方根的差別 在實數範圍內，√A 表示 A 的非負平方根，且必須有 A≥0。若 A＞0，方程式 y²＝A 有正、負兩個解；但單獨的 √A 只取非負值。例如，√36＝6，而 y²＝36 的解才是 y＝±6。 因此，去除平方外面的根號時，正確規則是√(a²)＝|a|。若 a≥0，結果為 a；若 a＜0，結果為－a。例如，√((3－5)²)＝|3－5|＝2，不能寫成－2。同理，√((2－100)²)＝98，而非－98。 根號的位置也會影響運算。(√a)²＝a 的實數前提是 a≥0；√(a²) 則對所有實數 a 都有意義，結果為 |a|。兩者看似相近，適用條件與去除符號的方式卻不同。 四、根式的乘法、平方與化簡 對非負數 a、b，有 √a×√b＝√(ab)，所以 √a×√a＝a。例如，(√3)²＝3，2√3×√3＝2×3＝6。根號外的係數仍須參與運算，不能在平方時漏掉。 例如，(2√3)²＝2²×(√3)²＝4×3＝12。若寫成 2×3＝6，就是只將根式平方，忘記將係數 2 一併平方。 化簡根式時，可將根號內的完全平方因數提出。例如，√12＝√(4×3)＝2√3。完成化簡後，才能更清楚判斷哪些項可以合併。 五、含根式的和之平方與代入求值 含根式的二項式仍遵守和的平方公式。例如，(a＋√b)²＝a²＋2a√b＋b，其中 b≥0。中間的 2a√b 來自 a×√b 與 √b×a 兩項相加，不能省略。 若 X＝1＋√3，則 X²＝(1＋√3)²＝1＋2√3＋3＝4＋2√3，因此X²－4＝2√3。計算順序是先代入、完整展開、合併整數項，再處理外面的加減。 另一種解法：X²－4＝(X＋2)(X－2)＝(3＋√3)(√3－1)＝3√3－3＋3－√3＝2√3，結果相同，可用來驗算。 所謂同類根式，是指化簡後根號內的數相同，例如 2√3＋5√3＝7√3。整數與根式不能直接合併；4＋2√3 不能寫成 6√3，而 √2＋√3 也不能合成 √5。 常考陷阱 中心數找錯：√((n－1)(n＋1)＋1) 的值是中心數 n。選項常同時列出中心數與鄰近的整數（例如相差 2 的數），把其中一個因數或湊整的 100 當成答案就會誤選。 習慣性選整數 100：看到接近 100 的數就以為答案是 100，應實際改寫成完全平方，確認底數究竟是多少。 把和的平方誤寫成平方和：(a＋b)²＝a²＋b² 一般不成立，漏掉了 2ab。看到根式也一樣，(1＋√3)² 必須包含 2√3。 混淆平方差與差的平方：a²－b² 是 (a＋b)(a－b)；(a－b)² 則是 a²－2ab＋b²。判斷時先看平方符號作用在整個括號，還是分別作用在兩項。 平方只算到部分因數：(2√3)² 不是 2×3，而是 4×3。括號內每個相乘的因數都要平方。 任意拆開加減的根號：√(a＋b) 一般不等於 √a＋√b；√(a－b) 也不能直接拆成 √a－√b。應先整理根號內的整體結構。 去根號時忽略絕對值：√((a－b)²)＝|a－b|。只有確定 a≥b，才可寫成 a－b；若 a＜b，應寫成 b－a。 算術平方根多寫正負號：√A 的值不加 ±。只有求解平方方程式時，才依條件列出正、負兩個解。 合併不同類的項：整數項與整數項合併，同類根式的係數相加減。X²－4＝2√3 中，4＋2√3 減 4 只消去整數項，根式項保留。 記憶口訣 和差平方：首平方、尾平方，中間兩倍乘積；和加差減，尾項都加。 平方差：兩平方相減，和乘差相連。 兩數夾中間，相乘補成方，開根就是中間數。 平方開根看正負，絕對值要留住；同類根式合係數，不同根式別硬併。