阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 先把方程式整理成 ax²＋bx＋c＝0，確認 a≠0，再依數字特徵選擇因式分解、配方法或公式解。 熟記求根公式 x＝（−b±√（b²−4ac））／（2a），正確處理負號、括號與根式化簡。 用判別式判斷根的情形；比較公式解的分子、分母與根號內數值，反求未知參數。 應用題要把情境轉成方程式，求解後再依時間、正負等條件篩選答案。 先找出符合條件的根，再代入代數式，並正確化簡根式。 核心觀念 一、標準式與求根方法的選擇 一元二次方程式的標準式為 ax²＋bx＋c＝0，且 a≠0。a、b、c 都包含本身的正負號。例如 x²−2x−1＝0 中，a＝1、b＝−2、c＝−1；2x²＋5x＋c＝0 中，a＝2、b＝5。 方法適用線索作答關鍵 因式分解可以提出公因式，或容易找到整數因數先讓等號右邊為 0，再用零乘積性質 配方法二次項係數為 1，且一次項係數方便取半等號兩邊同加「一次項係數一半的平方」 公式解不容易因式分解，或題目要比較根式中的參數完整代入 a、b、c，特別注意 −b 與 −4ac 零乘積性質：若 A×B＝0，則 A＝0 或 B＝0。「或」的意思是分別求出每一個可能的解，而不是要求兩個因式同時等於 0。 二、配方法：把二次式變成完全平方 對 x²＋px＋q＝0，先移項成 x²＋px＝−q，再在兩邊同加（p／2）²，得到（x＋p／2）²＝（p／2）²−q。若右邊為正數，開平方時必須保留正、負兩種可能。 例如 x²−2x−1＝0，整理成 x²−2x＝1，兩邊同加 1，得到（x−1）²＝2。因此 x−1＝±√2，兩根為 1＋√2 與 1−√2（合寫為 1±√2）。因為 √2＞1，所以 1−√2 是負根。 常數很大時，也可以先試著配成整數平方。例如 X²＋18X−9919＝0，移項後兩邊同加 81，得到（X＋9）²＝10000。由 X＋9＝±100，可得 X＝91 或 X＝−109。常數大不代表一定要硬算公式解。 驗算技巧：兩根之和＝−b／a，兩根之積＝c／a。上例中 91＋（−109）＝−18，91×（−109）＝−9919，兩者都正確。在選擇題中，也可以直接把選項代回原式驗證。 三、公式解與判別式 對 ax²＋bx＋c＝0，求根公式為 x＝（−b±√D）／（2a），其中 D＝b²−4ac 稱為判別式。分母 2a 要除整個分子，不能只除根號那一部分。 判別式根的情形判斷重點 D＞0兩個相異實根分別取加號與減號 D＝0兩個相等實根（重根）根為 −b／（2a） D＜0沒有實根在實數範圍內，負數不能開平方 當係數都是整數時：若 D 是完全平方數，根為有理數；若 D＞0 但不是完全平方數，根為無理數，這時方程式不能在整數範圍內因式分解。要注意有理根不一定是整數根，還要檢查分母能否整除。 以 x²−2x−1＝0 為例，D＝（−2）²−4×1×（−1）＝8，不是完全平方數，所以根一定含有根號。x＝（2±√8）／2＝（2±2√2）／2＝1±√2，與配方法的結果一致。 四、比較公式解，反求未知參數 方程式 2x²＋5x＋c＝0 代入公式後，一定得到 x＝（−5±√（25−8c））／4。在尚未約分的情況下，對應位置如下： 分子根號外的數是 −b＝−5（不是 5）。 分母是 2a＝4。 根號內是 b²−4ac＝25−8c。 若題目把解寫成含未知數 m 的形式，就把題目的式子和上式逐一對照位置，列出方程式。例如根號內為 41 時，25−8c＝41，解得 c＝−2。反向檢查：c＝−2 代回，根號內為 25－4×2×（−2）＝25＋16＝41，確實成立。 比較前要先確認題目的式子是否已經約分或化簡。若分子、分母同時約分過，外觀上的數值會跟著改變，必須先整理成相同形式再比較。 五、落地時間：先令高度為零，再篩選時間 高度關係式為 S＝24t−3t² 時，石頭落到地面代表 S＝0，所以 24t−3t²＝0。提出公因式得到 3t（8−t）＝0，解為 t＝0 或 t＝8。 t＝0 是剛投出的時刻，題目問的是經過多久落地，所以答案取 8 秒。兩個解都使高度為零，但情境意義不同。 另外，S＝−3（t−4）²＋48，表示 t＝4 時高度最大（48 呎）。最高點的時間是落地時間的一半，兩者不可混淆。 六、先取符合條件的根，再求代數式的值 x²−5x−6＝0 可分解為（x−6）（x＋1）＝0，兩根為 6 與 −1。題目指定 a 是正根，所以 a＝6，只要把 6 代入待求式即可。 代入後常會出現根式，化簡時要掌握以下規則： （√6）²＝6，√6×√6＝6；例如 2√6×√6＝2×6＝12，結果是整數，不帶根號。 √（a²）＝|a|；（√a）² 則要求 a≥0。 √24＝2√6，√54＝3√6；同類根式才能相加減，例如 2√6＋3√6＝5√6。 分母有根號時，可以有理化，例如 6／√6＝√6。 若待求式含有較高次方，也可以利用 a²−5a−6＝0 改寫成 a²＝5a＋6，用來降低次方、簡化計算。 常考陷阱 把無法整數分解的方程式硬拆：x²−2x−1＝0 的判別式為 8，不是完全平方數，根必含 √2。「1 或 −2」「−1 或 2」這類整數選項可以直接排除；代回也可看出不成立，例如 1²−2×1−1＝−2≠0。 漏掉係數的負號：b＝−2 時，−b＝2，b²＝4；c 為負時，−4ac 會變成正數。代入時先加括號最穩妥。 配方只改一邊：x²＋18x 要加 81 才成為（x＋9）²，等號另一邊也必須同加 81，不能只加 9 或 18。 開平方只取正根：（X＋9）²＝10000 應得 X＋9＝±100，只取正根會漏掉 −109。 把中間結果當成根：選項中的 100 是 X＋9 的值，不是 X。正確的根是 91 與 −109，要看清楚選項給的是哪一個；兩者都可以代回原式驗證。 忘了公式中是 −b：2x²＋5x＋c＝0 的分子根號外是 −5，看到「5」就認定參數為 5 是常見錯誤。分母是 2a＝4，根號內的 c 要乘上 −4a＝−8。 根號內符號算錯：25−8c＝41 時，−8c＝16，所以 c＝−2，不是 c＝2 或 −8。求出後代回檢查最可靠。 把最高點時間當成落地時間：S＝24t−3t² 在 t＝4 時達到最高點，t＝8 才落地。也不要直接約去 t，否則會漏掉 t＝0，造成判斷混亂。 忽略「正根」條件：x²−5x−6＝0 有 6 與 −1 兩根，題目指定正根時必須用 a＝6。若誤用 −1，常會出現負數開根號或錯誤的數值。 根式化簡不完全：√6×√6＝6 要化成整數，像 2√6×√6 的值是 12，不是 12√6 或 2√6。帶有 √6 的選項往往就是化簡不完全的結果。 記憶口訣 「先歸零、看係數；能分解、先分解；配方取半再平方，兩邊同加別忘記。」 「負 b 加減根號判，根內 b 方減四 ac，全部除以二倍 a。」 「開方正負都要留，落地高度設為零；最高點在一半時，題目說正就選正。」