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學習重點 掌握二次函數 y＝ax²＋bx＋c 的前提 a≠0，並由 a 的正負判斷開口方向，以及函數有最大值還是最小值。 開口寬窄要看 |a|：|a| 越大開口越窄、越小開口越寬；「a 愈大開口愈大」、「a 愈小開口愈小」都是錯誤敘述。 利用配方形式 y＝a(x－h)²＋k，讀出頂點 (－b／(2a)，(4ac－b²)／(4a))、對稱軸與極值，並能辨認公式中的符號錯誤。 利用判別式 Δ＝b²－4ac 判斷與 x 軸的交點數：Δ≥0 表示「與 x 軸相交」，Δ＞0 才是「相交於相異兩點」。 由 x＝0 求出與 y 軸的交點 (0，c)，建立係數與圖形之間的連結。 核心觀念 一、先確認二次項係數不為零 二次函數的一般式為 y＝ax²＋bx＋c，且 a≠0，其圖形為拋物線。題目若用 α 表示二次項係數，則 α 的作用與 a 完全相同。 若 a＝0，函數就不再是二次函數，因此不能套用拋物線的開口、頂點與判別式結論。以下討論均以實數範圍內、定義域為全體實數的二次函數為前提。 二、a 的正負決定開口方向與極值種類 二次項係數開口方向頂點位置特性極值 a＞0向上整條拋物線的最低點有最小值，沒有最大值 a＜0向下整條拋物線的最高點有最大值，沒有最小值 因此，「a 的正負決定拋物線的開口方向，及有最大值或最小值」是正確敘述，考題中這類選項一律判為正確。這裡「決定最大值或最小值」指的是決定「有哪一種極值」；極值的數值則由頂點的縱坐標給出。 三、開口寬窄看 |a|，不是看 a 的大小 比較圖形時，應在相同坐標尺度下觀察。|a| 越大，拋物線越窄（開口越小）；|a| 越小但不為零，拋物線越寬（開口越大）。不論開口向上或向下，都遵守這個規則。 例如 y＝3x² 比 y＝x² 窄，y＝－3x² 也比 y＝－x² 窄。y＝3x² 與 y＝－3x² 的開口方向相反，但寬窄相同。 可由頂點式理解：離對稱軸相同的水平距離 d 時，圖形與頂點的垂直距離為 |a|d²。|a| 越大，上升或下降得越快，圖形就越窄。 所以「a 愈大，拋物線開口愈大」是錯的： a＞0 時，a 越大即 |a| 越大，開口反而越小，與敘述正好相反。 a＜0 時，a 越大（如從－4 到－1）即 |a| 越小，開口變大；但這只在負數情形成立，不能當作一般規則。 同理，「a 愈小，拋物線開口愈小」也是錯的，例如 a 從 4 變成 1 時，|a| 變小，開口其實變大。 四、配方求頂點、對稱軸及極值 將一般式配方，可得： y＝a[x＋b／(2a)]²＋(4ac－b²)／(4a) 與頂點式 y＝a(x－h)²＋k 比較，可得： 頂點：(h，k)＝(－b／(2a)，(4ac－b²)／(4a))，縱坐標也可寫成 －(b²－4ac)／(4a)。 對稱軸：x＝－b／(2a)。 a＞0 時，最小值為 (4ac－b²)／(4a)；a＜0 時，最大值為 (4ac－b²)／(4a)，兩者都在 x＝－b／(2a) 時取得。 頂點式中的平方項 (x－h)² 永遠大於或等於 0。當 x＝h 時，平方項等於 0，便得到頂點及極值。這也說明：頂點是一組坐標，極值則是一個函數值，兩者不能混用。 讀頂點式時要注意括號內的符號。例如 y＝2(x＋3)²－5 的頂點為 (－3，－5)，對稱軸為 x＝－3，最小值為－5。 題目中的頂點坐標選項常以公式呈現，作答時要逐一核對：橫坐標必須有負號且分母為 2a；縱坐標分子為 4ac－b²（不是 b²－4ac），分母為 4a。寫法完全符合才是正確敘述。 五、判別式決定與 x 軸的交點數 圖形與 x 軸相交的位置必須滿足 y＝0，因此就是解 ax²＋bx＋c＝0。令 Δ＝b²－4ac，可依下表判斷： 判別式實根情形圖形與 x 軸的關係 Δ＞0兩相異實根交於兩個相異點 Δ＝0兩相等實根（重根）只有一個交點，在頂點處與 x 軸相切 Δ＜0沒有實根與 x 軸沒有交點 兩種常見說法要分清楚： 「b²－4ac≥0 時，圖形為拋物線且與 x 軸相交」：正確。Δ≥0 保證至少有一個交點（相切也算相交）。 「b²－4ac≥0 時，圖形與 x 軸相交於相異二點」：錯誤。Δ＝0 時只有一個交點，要「相異二點」必須 Δ＞0。 判別式不決定圖形是不是拋物線。只要 a≠0，無論 Δ 為正、零或負，圖形都是拋物線；Δ 負責判斷的是與 x 軸的交點數。 六、與 y 軸的交點及係數分工 在 y 軸上的點都滿足 x＝0，代入得 y＝c，所以與 y 軸的交點固定為 (0，c)，且恰有一個。若 c＝0，圖形就通過原點。 係數或式子決定的圖形性質 a 的正負開口方向；有最大值或最小值 |a| 的大小開口寬窄（大則窄，小則寬） a、b對稱軸 x＝－b／(2a) a、b、c頂點縱坐標（極值）；判別式與 x 軸交點數 cy 軸截距，交點 (0，c) 一般情況下，不能把 c 當成頂點的縱坐標；只有 b＝0 時頂點才是 (0，c)。 常考陷阱 「a 愈大，拋物線開口愈大」：錯誤。a＞0 時 a 越大開口反而越小；寬窄要看 |a|，「絕對值大則窄、小則寬」。這是本單元最常被選為「錯誤敘述」的選項。 「a 愈小，拋物線開口愈小」：錯誤。正數 a 變小時 |a| 變小，圖形變寬。 「a 的正負決定開口方向及最大值或最小值」：正確。不要因為「正負不能決定極值的數值」而誤判為錯，這句指的是決定極值的種類。 「負係數的圖形一定比較窄」：錯誤。正負只決定方向，a＝2 與 a＝－2 的圖形寬窄相同。 「b²－4ac≥0 就與 x 軸交於相異兩點」：錯誤，漏掉 Δ＝0 的相切情況；但「b²－4ac≥0 時與 x 軸相交」是正確的。判斷關鍵在有沒有「相異」二字。 頂點公式少負號、分母錯誤或分子寫反：正確為 (－b／(2a)，(4ac－b²)／(4a))。可將橫坐標代回原式檢查縱坐標。 把對稱軸寫成 y＝－b／(2a)：對稱軸是垂直線，應寫 x＝－b／(2a)。 混淆極值與取得極值的位置：－b／(2a) 是取得極值時的 x 值，(4ac－b²)／(4a) 才是最大值或最小值。 漏看題目要求選「正確」或「錯誤」：同一組選項，有時考「哪一項正確」（答案是「a 的正負決定開口方向及極值」），有時考「哪一項錯誤」（答案是「a 愈大開口愈大」）。先判斷各敘述真偽，再依題幹選答。 記憶口訣 「正向上，有最小；負向下，有最大。絕對值大口變窄，絕對值小口變寬。」 「判別式正兩點，等零切一點，負數無交點；大於等於零只說相交，要相異得大於零。」 「頂點負 b 除 2a，四 ac 減 b 平方除 4a；找 y 軸，令 x 零。」