位值展開與整除法則

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建立於 2026年11月10日

學習重點 會用十進位展開式拆解整數，理解整除判別法則為何只看末幾位或各位數字和。 掌握 3、4、5、8、9 的倍數判別，並判斷數字換位後哪些整除性仍然成立。 將重複數字區塊寫成代數式，再利用因數分解找出必然的因數。 運用餘數的加法與數字和同餘（棄九法），處理重新分裝、未知數字及數字被取代的問題。 分辨「一定成立」與「有時成立」：要肯定須有通式保證，要否定只需一個反例。 核心觀念 一、位值展開：先拆出「一定可整除的部分」 十進位整數可以依位值展開，例如四位數可寫成 1000a＋100b＋10c＋d，其中 a、b、c、d 是各位數字。整除判別的關鍵，是找出哪些位值項必為除數的倍數，再檢查剩下的部分。 若寫成 N＝100x＋y，且 0≤y≤99，則 y 就是末兩位所代表的數，x 是去掉末兩位後的整數。例如末兩位為 04，所代表的數就是 4。這裡的 x 可以超過 9，並不限定為一個數字。 因為 100 可被 4 整除，所以 100x 一定可被 4 整除。因此，N 能被 4 整除，若且唯若 y 能被 4 整除。這不是單純背規則，而是把確定為 4 的倍數的部分先排除。 但 100＝8×12＋4，不能被 8 整除，所以只看末兩位不足以判斷 8 的倍數。事實上，100x＋y 除以 8 的餘數，等於 4x＋y 除以 8 的餘數；即使 y 是 8 的倍數，仍須考慮 x 的奇偶。此時 x 為偶數才可整除，x 為奇數則餘 4。最簡單的反例是 108：末兩位 08 是 8 的倍數，但 108÷8＝13 餘 4。 由於 1000 可被 8 整除，判別 8 的倍數應拆成 N＝1000q＋r，0≤r≤999，再看末三位所代表的 r 是否可被 8 整除。 通則：若 10 的 k 次方能被 m 整除，判別 m 的倍數就只需看末 k 位。100＝4×25，所以 4 與 25 看末兩位；1000＝8×125，所以 8 與 125 看末三位。 除數判別方法位值上的理由 3各位數字和為 3 的倍數10 的各次冪除以 3 都餘 1 4末兩位所代表的數為 4 的倍數100 是 4 的倍數 5個位數是 0 或 510 是 5 的倍數 8末三位所代表的數為 8 的倍數1000 是 8 的倍數，100 則不是 9各位數字和為 9 的倍數10 的各次冪除以 9 都餘 1 0 也是上述各數的倍數，因為 0＝除數×0。因此，末兩位為 00 或末三位為 000 時，也符合對應的整除條件。 二、數字對調：檢查判別依據是否改變 判斷換位後的整除性，不必先算出新數值，而要看該除數的判別依據是否保持不變。 3 與 9 看數字和：交換任意兩位數字，數字和不變，所以對 3、9 的餘數也不變。原數若為 3 或 9 的倍數，換位後仍然是。 5 看個位數：只交換百位與十位時，個位數不變，因此是否為 5 的倍數也不變。若交換涉及個位數，就不能直接保證。 4 與 8 看末端數值：換位若改變末兩位或末三位，就必須重新檢查，不能套用數字和不變的理由。例如 1124 是 4 的倍數，百位與十位對調成 1214 就不是。 也可用差值驗證：設原數為 1000a＋100b＋10c＋d，交換百位與十位後，新數為 1000a＋100c＋10b＋d，新數減原數為 90(c－b)。90＝2×3²×5，這個差一定是 2、3、5、9、10 的倍數，因此兩數除以這些數的餘數相同；原數是其倍數，新數也必然是。 三、重複區塊：把「接在後面」轉成乘法 若六位數由相同的三位數區塊 a 前後相接，則左半部的 a 必須乘以 1000，所以整個數為： 1000a＋a＝1001a＝7×11×13×a。 因此，這類六位數一定是 7、11、13 的倍數，也一定是 77、91、143、1001 的倍數。只要看到相同的三位數區塊重複，就可先套用這個代數表示。 但是否為 3 或 5 的倍數，仍取決於 a。因為 1001 除以 3 餘 2，且 1001 不含因數 3 與 5，所以整個數可被 3 整除，若且唯若 a 可被 3 整除；而整個數的個位數與 a 的個位數相同，所以可被 5 整除，若且唯若 a 的個位數為 0 或 5。反例：a＝101 時，101101 的數字和為 4，個位數為 1，既不是 3 的倍數也不是 5 的倍數。區塊重複，不代表一定能被 3 或 5 整除。 同理，兩位數區塊重複成四位數時為 101a；四位數區塊重複成八位數時為 10001a。重點是先找出「乘以 10 的幾次方再相加」。 四、餘數加法：相加後還要再取餘數 若 A＝mq＋r、B＝mp＋s，則 A＋B＝m(q＋p)＋r＋s。因此，總和除以 m 的餘數，是 r＋s 再除以 m 的餘數，不能把餘數和直接當答案。 若原除數是新除數的倍數，也能直接利用原本的餘數。例如原先每 100 個一組，改成每 50 個一組，因為 100 的倍數必為 50 的倍數，原先完整分組的部分都不影響最後剩餘量，只需處理各批原本的餘數。 計算原則是：先加各批剩餘量，再盡量分成新組，最後留下不足一組的數量。例如兩批分別剩 68 與 57，總剩餘 125，改成 50 個一組，125＝50×2＋25，最後剩 25。無論原先總數多大，只要新組大小能整除原組大小，就不必求出原本完整組數；題目給的總量（如「至少幾萬個」）只是保證數量夠多，不影響計算。 反之，若新組大小不能整除原組大小（如 100 個一組改成 30 個一組），原本的完整組數就會影響餘數，不能只看原餘數。 五、棄九法：用數字和追查未知數字 因為 10、100、1000 等位值除以 9 都餘 1，所以一個整數除以 9 的餘數，等於它的各位數字和除以 9 的餘數。反覆加總數字，或刪去總和為 9 的倍數的數字組合，都不改變其對 9 的餘數。多個數相加時，總和除以 9 的餘數也等於所有數字總和除以 9 的餘數。 例如使用 1 到 9 各一次，不論如何排列、分組，各數的數字和總計都是 45，因此這些數的總和必為 9 的倍數。若把其中數字 d 改成 0，且該位位值為 10 的 k 次方，實際減少量是 d×10 的 k 次方；但就除以 9 的餘數而言，效果等同減去 d。 設更改後的總和為 T，則 T＋d 必為 9 的倍數。例如 T 的數字和除以 9 餘 4，就有 d＋4 為 9 的倍數；配合 d 是 1 到 9 的數字，d＋4 介於 5 到 13，只能等於 9，即可確定 d＝5。這種方法不必知道被改動的是哪一個數、也不必知道是個位、十位或百位。 常考陷阱 「末兩位是 8 的倍數，整數就一定是 8 的倍數」：忽略了前方的 100x。判斷末幾位，要先確認對應的 10 的冪次能否被除數整除；4 看末兩位正確，8 必須看末三位。 「換位後數值變了，倍數性就一定改變」：數值改變不代表餘數改變。先檢查數字和、個位數等判別依據是否維持；百位與十位對調時，3 與 5 的倍數性都保持。 「兩個相同區塊相接就是 2a」：相接涉及位值移動，三位數區塊前後相接應為 1000a＋a＝1001a。 「題目舉的例子是 3、5 的倍數，所以一定是」：例子剛好符合不代表恆成立。重複型六位數一定是 7、11、13 的倍數，但 3、5 要看 a。 「某些例子成立，就代表一定成立」：判斷「一定」須有通式保證。要否定「一定」，找到一個符合條件的反例即可。 「各批餘數相加就是最後餘數」：相加後可能還能湊成完整一組，最終餘數必須大於或等於 0，且小於新除數。 被無關數據干擾：總量、箱數等資訊若不影響餘數，不必代入計算，直接處理餘數即可。 「把數字改成 0，總數就只減少該數字」：實際減少量還要乘上位值；只有在對 9 取餘數時，才能以減去該數字處理。 「數字和是 9，所以除以 9 餘 9」：餘數只能是 0 到 8；數字和為 9 的倍數時，餘數是 0。 記憶口訣 三九看位和，五看尾零五；四查末兩位，八查末三位。 三位重複乘一千零一，七、十一、十三都整除；三與五，還得看 a。 餘數先相加，超過再分組；換位看依據，改字查棄九。