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學習重點 比較分數前，先確認分子、分母的大小關係，以及運算後分母是否仍為正數。 把假分數改寫成「整數部分＋剩餘分數」，就能看出分子、分母同加或同減正數時數值怎麼變。 看到相鄰整數或等距數字，先找中心數。例如 2023＋2025＝2×2024，可改寫成中心數減一、中心數、中心數加一。 比較加、減、乘、除的結果時，先化簡，再以 0、1、2 等基準判斷，不要直接計算大數。 排序時要分清「由小到大」與「＞」符號的方向，也要留意減法、除法的先後順序。 核心觀念 一、先確認分數的條件與比較範圍 分數大小同時取決於分子和分母。比較前先整理三件事： 分母是否為正。 分數大於或小於 1。 加減後是否仍有意義。 若已知 b＞a＞c＞0，則 b/a＞1，且 a－c＞0。所以 b/a、(b＋c)/(a＋c)、(b－c)/(a－c) 的分母都是正數，可以進一步比較。 假分數的定義包含分子等於分母的情形，所以只看到「假分數」不能斷定分數嚴格大於 1。必須另有 b＞a，才能確定 b/a＞1，並得到嚴格的大小關係。 二、同加同減的關鍵：分子與分母的差不變 設分數為 b/a，且 b＞a＞0。把分子拆成 a＋(b－a)，得到： b/a＝1＋(b－a)/a。 分子、分母同加正數 c 後： (b＋c)/(a＋c)＝1＋(b－a)/(a＋c)。 分子、分母同減正數 c，且 a＞c 時： (b－c)/(a－c)＝1＋(b－a)/(a－c)。 這三個式子的整數部分都是 1，剩餘分數的分子都是同一個正數 b－a，所以只需比較分母。因為 a－c＜a＜a＋c，分母越小，剩餘分數越大，得到： (b－c)/(a－c)＞b/a＞(b＋c)/(a＋c)＞1。 所以在 b＞a＞c＞0 的條件下，三者中同減後的 (b－c)/(a－c) 最大，同加後的 (b＋c)/(a＋c) 最小。對大於 1 的正分數來說，同減正數使數值變大，同加正數使數值變小。這個結論要靠完整的代數條件來判斷，不能只說「分子變大，所以分數變大」。 三、用差值證明，避免死背規則 擔心記反時，可以直接計算變化前後的差。同加時： (b＋c)/(a＋c)－b/a＝c(a－b)/[a(a＋c)]。 當 b＞a＞0、c＞0 時，分母為正、分子為負，所以同加後小於原分數。 同減時： (b－c)/(a－c)－b/a＝c(b－a)/[a(a－c)]。 若再有 a＞c，分子、分母都為正，所以同減後大於原分數。 這個方法也說明了：原分數小於、等於或大於 1 時，變化方向不同。 原分數的狀態分子、分母同加正數分子、分母同減正數 大於 1變小，仍大於 1變大，仍大於 1 等於 1仍等於 1仍等於 1 介於 0 與 1 之間變大，仍小於 1變小；若分子仍為正，則仍介於 0 與 1 之間 表中的同減情形都以減後分母仍為正數為前提。若要維持正分數，還要確認減後分子也為正。 四、對稱數字先換成中心數 遇到 2023、2024、2025，先辨識 2024 是中心數。設 n＝2024，三個數可寫成 n－1、n、n＋1。最常用的兩個結構是： (n－1)＋(n＋1)＝2n；(n－1)(n＋1)＝n²－1。 前者用於加法的對稱抵消，例如 2023/2024＋2025/2024＝(2023＋2025)/2024＝2。後者是平方差公式，例如 2023×2025＝2024²－1，不必先算出兩個大數的乘積。 這些數字出現在分數中時，先看三件事，再選擇化簡方式： 分母是否相同。 兩數是否互為倒數。 能否約分。 五、四則運算比較：先化簡，再分區間 比較四個算式時，不要一開始就換成小數。依運算種類處理： 加減法：先通分。 乘法：先約分。 除法：先把除數倒過來，改成乘法。 化簡後，判斷結果落在哪個區間（小於 0、介於 0 與 1、約為 1、約為 2 等）。 粗估定區間：若參與運算的兩個正數都很接近 1，則： 相加約為 2。 相乘、相除都約為 1。 相減約為 0，可能是正數也可能是負數。 通常可以先排出「加法最大、減法最小」，真正需要細算的是乘積與商誰大。 以一組對稱分數示範：設 n＞1，x＝(n－1)/n，y＝(n＋1)/n。此時 0＜x＜1＜y，且： x＋y＝2。 x－y＝－2/n＜0。 xy＝(n²－1)/n²＝1－1/n²，介於 0 與 1 之間。 x÷y＝(n－1)/(n＋1)，也介於 0 與 1 之間。 乘積與商都小於 1，要再比較一次。比較兩個正數時，可以把兩者相除，看結果大於或小於 1。因為 xy÷(x÷y)＝y²＞1，所以 xy＞x÷y。也可以用差值比較：1－xy＝1/n²，1－x÷y＝2/(n＋1)。n 很大時 1/n² 遠小於 2/(n＋1)，所以 xy 更接近 1。這組示範的大小順序為： x＋y＞xy＞x÷y＞x－y。 這個順序取決於示範中的分數與運算方向，不能直接套用到所有四則運算題。若改成 y－x 或 y÷x，結果就會改變。y÷x＞1，可能比 xy 大。解題時應以實際算式為準，逐一確認。 常考陷阱 「分子、分母同加一個數，分數不變」：分數值不變的是分子、分母同乘或同除以同一個非零數。同加、同減通常會改變分數值，只有分子等於分母是特殊情況。 「同加後一定比較大」：這是只看到分子增加，忽略了分母也增加。原分數大於 1 時，同加正數反而變小，所以同加後的式子不會是最大者。 「同減後一定比較大」：必須確認原分數大於 1，且減後分母為正，才能套用本單元的結論。 「沒有給實際數字，所以資料不足」：若大小條件（如 b＞a＞c＞0）已足以決定比較結果，就不需要知道各數的實際值。可以用共同差額或差值的正負直接證明，因此「資料不足，無法判斷」通常是錯誤選項。 把加減中的項直接約分：約分必須消去分子、分母的共同因數，不能把加減號兩側看起來相同的部分直接刪掉。 「乘法一定使數變大，除法一定使數變小」：對正數而言，乘以小於 1 的正數會變小，除以小於 1 的正數會變大。要先判斷乘數或除數與 1 的大小關係。 只粗估就排序：乘積與商都接近 1 時，粗估分不出大小，要再用相除或與 1 的差距比較。 忽略運算方向：x－y 與 y－x 互為相反數；兩數非零時，x÷y 與 y÷x 互為倒數，不能任意交換。 排序方向讀反：「甲＞乙＞丙」表示甲最大、丙最小。題幹寫「由小排到大」，選項卻可能用「＞」由大寫到小。要先看選項使用的符號，再核對每個結果的位置。 記憶口訣 大於一，同加往一靠，同減離一遠；同減先看分母正。 等距找中心，乘積用平方差；加約二、乘除約一、減近零，排序看方向。