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學習重點 先找總量，再求平均：上場時間問題先算「總人時」，分組成績問題先算「總分」，最後才除以對應人數。 分清楚兩種人數：「場上同時上場人數」用來計算總人時；「參與活動總人數」用來計算每人平均上場時間。 熟悉時間換算：起訖時刻相減得到經過時間，計算前先統一成分鐘，不能把時刻當成十進位小數相減。 掌握分組平均的權重：整體平均須考慮各組人數；只有各組人數相等時，才能直接平均各組平均數。 用合理性檢查答案：每人平均上場時間不能超過活動總時間，也須符合總人時；未知組平均則須符合全班總分及各組高低順序。 核心觀念 一、平均的共同原理：總量除以份數 「平均」是把某個總量平均分成若干份。解題時最重要的不是立即套公式，而是先確認：要分配的總量是什麼？要分給多少人？若題目給的是平均數，則可反向使用「總量＝平均數×人數」，先還原總量，再進行合併或扣除。 本單元的兩類問題雖然情境不同，計算結構相同：上場問題把所有人的上場分鐘數加總，成績問題把所有人的分數加總。只要總量與人數配對正確，就能求出平均。 二、總人時：把同時上場的人數納入計算 總人時是所有人投入時間的合計。以分鐘計算時，可用「人・分鐘」表示。例如，4人同時上場1分鐘，活動雖然只經過1分鐘，卻累積了4人・分鐘；若持續10分鐘，就累積40人・分鐘。 在整段活動中，若場上始終維持固定人數，則： 總人時＝場上同時上場人數×實際活動時間每人平均上場時間＝總人時÷參與活動總人數 以雙打輪替情境而言，場上同時有4人；單打則為2人。應先將活動時間乘以場上人數，再除以全體參與人數。輪替方式可能不同，但只要場上人數與活動時間固定，總人時就固定，求全體平均時不必逐一追蹤每人的換場紀錄。 「平均上場時間」不代表每個人實際上場時間完全相同。有人打得較久、有人較短，仍可求出全體平均；只有題目另外要求每人上場時間相等時，才可把平均值視為每個人的實際上場時間。 三、參與總人數與跨小時時間的判讀 敘述若為「某人約其他6位同學」，「其他」表示不包含發起者，因此參與總人數為1＋6＝7人。解題時可先把發起者與受邀者分開列出，避免只計算受邀人數。 時刻採用60進位，經過時間可用以下任一方法計算： 分段法：14：55至15：00為5分鐘，15：00至17：00為120分鐘，17：00至17：15為15分鐘，合計140分鐘。 借位法：17：15的分鐘數不夠減，向小時借1小時＝60分鐘，變成16：75，再減14：55得2小時20分鐘，即2×60＋20＝140分鐘。 全換分鐘法：17：15＝17×60＋15＝1035分鐘，14：55＝14×60＋55＝895分鐘，相減得140分鐘。 若共有7人輪替、場上固定4人、活動持續140分鐘，計算為： 總人時＝4×140＝560人・分鐘每人平均上場時間＝560÷7＝80分鐘 也可用比例理解：任一時刻7人中有4人在場上，所以每人平均上場時間為活動時間的4/7，即140×4/7＝80分鐘。上述公式以題目所述整段時間持續活動為前提；若另有全體休息、場地暫停使用等時間，須先扣除，再計算實際累積的總人時。 四、分組平均：先還原各組總分 各組平均數描述的是各組內部的平均，合併時必須考慮每組人數。基本關係如下： 各組總分＝各組人數×各組平均全班總分＝各組總分相加＝全班人數×全班平均 若要求未知組別的平均，先用全班總分扣除已知各組總分，再除以未知組人數： 未知組平均＝（全班總分－已知各組總分合計）÷未知組人數 例如，全班30人、平均70分，總分就是2100分；兩個已知組各10人、平均分別為85分與75分，其總分分別為850分與750分。剩餘一組總分為2100－850－750＝500分，再除以該組10人，可得平均50分。 五、等人數分組與不等人數分組的差別 分組情況整體平均的算法判斷關鍵 各組人數相等各組平均數相加，再除以組數每組人數相同，各組平均的權重相同。 各組人數不相等各組「人數×平均」相加，再除以總人數人數較多的組別，對整體平均的影響較大。 若三組人數相等，設未知組平均為x，便可列出（x＋75＋85）÷3＝70，得到x＝3×70－75－85＝50。這是等人數分組的簡便算法，其根據仍然是總分的加總，不能套用到人數不同的分組。 也能用平均數的偏差檢查：兩個已知組平均分別比全班平均高15分與5分。因三組人數相同，未知組平均就須比全班平均低20分，才能抵銷，故為70－20＝50分。 常考陷阱 把活動時間直接除以總人數：例如140÷7＝20分鐘，這只把經過時間分配一次，忽略多人同時上場。應先乘以場上人數，算出總人時。 混用場上人數與全體人數：計算總人時時乘的是同時上場人數；求每人平均時除的是全體參與人數。兩者用途不同。 漏算發起者：「約其他幾位」須把自己加回去；若只用6人計算，會得到560÷6，不是整數，也不是正確答案。若敘述是「共幾人」，則已包含全體，不能再加一人。 把時間當成十進位：17.15－14.55＝2.60是錯誤算法；2小時20分鐘也不是2.20小時，更不是220分鐘。時與分之間須依1小時＝60分鐘換算。 算錯經過時間：常見把14：55到17：15誤算成2小時40分鐘或3小時20分鐘，應以分段法或借位法驗算。 把總人時誤認為經過時間：560人・分鐘是多人上場時間的合計，不能當成活動持續560分鐘；答案若問每人幾分鐘，還須除以總人數。 認為平均值就是每人的實際值：求得平均80分鐘，只表示全體上場分鐘數除以人數等於80，不足以推論每人都恰好上場80分鐘。 直接平均各組平均數，卻未檢查人數：先確認各組是否等人數。不同人數的分組，必須用人數加權計算。 把平均分數直接從總分扣除：全班總分只能扣除各組總分，不能直接扣除各組平均。應先用「人數×平均」換成同一種量。 等人數三組漏乘組數：全班平均等於三組平均數之和除以3，因此還原三組平均數之和時，要先將全班平均乘以3；若誤寫成70－75－85或70×2－75－85，都會得到錯誤數值。 只憑高低順序猜數值：依成績排序分組，可用來檢查低分組平均不應高於中分組平均；但確切數值仍須由總分關係求出，不能假設各組平均等距（例如誤以為75－10＝65）。 記憶口訣 「場上乘時間，總量除全員；分組先還總，扣完再平均。」 「同人數，平均可再平均；不同人數，先乘人數算總分。」