加權平均與組別人數

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建立於 2026年11月10日

學習重點 平均數的本質是「總量÷總人數」：合併不同組別時，要先用各組平均乘以各組人數，還原各組總量，再相加。 已知總平均，可反求某組平均：用全體總量扣除已知組總量，再除以未知組的人數。 兩組人數比與平均差距成反比：人數較多的組別，會使總平均更靠近該組平均。 合併百分比要以各組總人數加權：先算目標類別的人數，再除以合併後的總人數。只有各組人數相同時，才能直接平均百分比。 成績分組先換算得分：把答錯題數換成分數，再以各分數對應的人數計算加權平均。 核心觀念 一、加權平均：先還原總量，再合併計算 算術平均數＝所有數值的總和÷資料筆數。當資料依年級、性別、學校或成績分組時，每組平均數只代表該組的平均水準，並不代表各組對全體平均的影響相同。各組人數就是權重，人數愈多，對總平均的影響愈大。 設兩組人數為 n₁、n₂，平均數為 a、b，則： 總平均 M＝（n₁×a＋n₂×b）÷（n₁＋n₂）。 有三組以上時，同樣把每一組的「人數×平均」相加，再除以所有組別的總人數。分子與分母必須涵蓋相同的對象，不能分子計入三組，分母卻只算兩組。 例如，某組有 10 人、平均 60 分，另一組有 30 人、平均 80 分，合併平均為（10×60＋30×80）÷40＝3000÷40＝75 分。由於高分組人數較多，總平均會比較接近 80 分。 二、已知總平均，反求未知組平均 遇到全體平均已知、其中一組平均未知的題型，依照「全體總量－已知組總量＝未知組總量」處理。 全體總量＝全體人數×全體平均。注意全體人數是所有組別人數相加。 已知組總量＝已知組人數×已知組平均；若直接提供個別數值，就將數值相加。 未知組平均＝（全體總量－已知組總量）÷未知組人數。 身高資料若出現對稱排列，例如 170、172、174、176、178，平均就是中央的 174；每個數值若重複相同次數（如每個數各出現兩次），平均也不變。可以利用成對加總或對稱中心加快計算，但不能只看到最大值與最小值，就認定所有資料的平均必等於兩端的平均。 還可用「差額補足」計算或檢查：若已知組有 n 人，平均比全體平均少 d，該組合計就少了 n×d；另一組必須提供相同的超出量。已知組平均低於全體平均時，另一組平均必高於全體平均。 例如，已知組 8 人平均 175 公分，全體 11 人平均 178 公分，已知組共少了 8×3＝24 公分，由其餘 3 人補足，每人須多出 24÷3＝8 公分，故未知組平均為 178＋8＝186 公分。用總量法驗算：11×178＝1958，1958－8×175＝1958－1400＝558，558÷3＝186，結果相同。 三、由平均差距求兩組人數比 設低平均組平均為 a、人數為 n₁，高平均組平均為 b、人數為 n₂，且 a＜M＜b。從加權平均公式整理可得： n₁×a＋n₂×b＝（n₁＋n₂）×Mn₁×（M－a）＝n₂×（b－M） 因此，低平均組人數：高平均組人數＝（b－M）：（M－a）。也就是各組人數與「該組平均到總平均的距離」成反比。 項目低平均組高平均組 與總平均的距離M－ab－M 人數比中所放的數b－M（對方的距離）M－a（對方的距離） 例如，兩組平均為 40、70，總平均為 50。低平均組到總平均的距離是 10，高平均組的距離是 20，因此低平均組與高平均組的人數比為 20：10＝2：1。 再如，女性平均 30 歲、男性平均 37 歲、全體平均 35 歲：女性距離 35－30＝5，男性距離 37－35＝2，故女：男＝2：5（不是 5：2）。可用公式驗算：（2×30＋5×37）÷7＝245÷7＝35。 作答前先寫清楚題目要求的人數比順序，再放入相反一側的差距。求得比例後，還可用直覺檢查：總平均靠近哪一組平均，哪一組的人數就較多。 上述方法用於兩組都有人、且兩組平均不同的情況。若兩組平均相同，總平均也相同，僅憑平均數便無法判定人數比。 四、合併學校或群體的百分比 圖表中某項運動的百分比，是以該校學童總人數為基準。合併學校時，應先讀取同一運動在各校的比例，分別換算人數，再加總。 某校喜愛該運動的人數＝該校總人數×該運動的比例。合併百分比＝各校喜愛該運動的人數總和÷各校總人數總和×100%。 各校人數關係合併比例的算法判斷重點 兩校人數相同（如各 100 人）兩校比例相加後除以 2相同人數才能等權平均 三校人數為 100、100、300（比 1：1：3）以比例的 1、1、3 倍加總，再除以 5第三校的權重是任一其他學校的三倍 各校人數不同各校比例乘各校人數，加總後除以總人數不能直接除以學校數 例如，三校人數比為 1：1：3，某運動的比例分別為 p、q、r，則合併比例為（p＋q＋3r）÷5。若兩所等人數學校的比例分別為 p、q，合併比例就是（p＋q）÷2。以數字示範：甲、乙、丙三校某運動比例為 20%、30%、10%，人數為 100、100、300，則喜愛人數為 20＋30＋30＝80 人，合併百分比為 80÷500＝16%；若誤算（20%＋30%＋10%）÷3＝20%，就是錯誤答案。 讀圖時應確認圖例、學校及運動名稱，取出正確的那一項比例，再代入上述公式；申論題作答時應寫出「各校人數→加總→除以總人數」的過程。 五、由答錯題數計算全班平均成績 每題配分相同、答錯該題得零分時，個人得分＝滿分－答錯題數×每題配分。若共 5 題、每題 20 分，則全對、錯一題、錯二題、錯三題，分別對應 100、80、60、40 分。 各組人數不同時，應以人數加權。全對者有 10 人，其餘三組各有 5 人，則全班平均為（100×10＋80×5＋60×5＋40×5）÷25＝1900÷25＝76 分。 也可從扣分驗算：全班共答錯 5×1＋5×2＋5×3＝30 題，總扣分為 30×20＝600 分，平均每人扣 600÷25＝24 分，因此平均為 100－24＝76 分。 常考陷阱 「把各組平均相加，再除以組數」：這是假設各組人數相同。人數不等時，必須先乘人數加權。 「總平均減掉已知組平均，就是另一組平均」：平均數不能直接這樣相減。應先還原總量，扣除後再除以未知組人數。 「全體人數只算其中一組」：全體總量要用所有成員的總人數乘全體平均，例如 8 人加 3 人共 11 人。 「人數比等於各組到總平均的差距比」：差距比與人數比方向相反，選項常把正確比例前後顛倒（如 2：5 與 5：2 並列）。要用「人數×差距」兩邊相等來判斷。 「平均較高的組別，人數一定較多」：平均高低不能單獨決定人數；應觀察總平均靠近哪一組。 「三校合併百分比一定除以 3」：分母應反映總人數或總權重；人數比為 1：1：3 時，總權重是 5。 「百分比直接當成人數相加」：百分比必須乘上各自的母群體人數。只有母群體恰為 100 人，百分數的數值才恰與人數相同。 「四種得分直接平均」：得分種類數不是學生人數；同一分數有多少人，就要計入多少次。 算出合併平均超出各組平均範圍：只要各組人數皆為正，合併平均必介於最低與最高的組平均之間，可據此快速排除錯誤。 記憶口訣 平均先乘人，合計再除人；未知先扣總，最後除該群。 人數比，差距反；靠得近，人較多。 百分比先換人，合併再除總；錯題先換分，人數作權重。