取概數方法與原數範圍

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建立於 2026年11月10日

學習重點 辨認取概數的三種方法：無條件進入法、無條件捨去法與四捨五入法，並掌握各方法的判斷依據。 從「至少要夠」「不足一單位仍計費」「滿一單位才計費」等語句，選擇適合的取概數方式。 先確定取概數的位值或計量單位，再處理數值；同一原數取到不同位值，所得結果可能不同。 能由四捨五入後的概數反推原數範圍，正確判斷上下界是否包含。 核心觀念 一、取概數：先確定位值，再決定方法 概數是依一定規則取得的近似數，用來保留重要資訊，方便計算與溝通。解題時必須同時確認「取到哪一位」與「使用哪一種方法」，不能只看到「大約」就直接四捨五入。 例如，取至千位，就是使結果成為1000的整數倍，百位以下以0表示；取至百位，則使結果成為100的整數倍，十位以下以0表示。生活情境中的「每箱」「每車」「每一計費區間」，也可以視為處理數量的單位，不一定是十進位的位值。 二、三種取概數方法的差異 方法判斷規則非負數取概數後的特性常見情境 無條件進入法欲捨去的部分只要不全為0，就在保留部分加1，再將其後數字改為0。結果大於或等於原數。至少要足夠、不足一單位仍算一單位。 無條件捨去法直接捨去指定位置以下的數字，不因餘數大小而進位。結果小於或等於原數。只計完整單位，未達門檻的部分不計。 四捨五入法看保留位的下一位：0至4捨去，5至9進位。結果可能小於、等於或大於原數。依指定精度表示接近原數的數量。 以25420為例，不同方法與位值的結果如下： 處理方式結果是否足以支付25420元 無條件進入法取至千位26000足夠 四捨五入法取至千位25000不足 四捨五入法取至百位25400不足，且不是千元整數倍 無條件捨去法取至百位25400不足，且不是千元整數倍 不同方法可能得到相同結果，但判斷規則並不相同。「無條件進入」也不是一律加上一個單位：若原數已是指定單位的整數倍，例如26000取至千位，結果仍是26000，不必再增加為27000。 三、確保金額足夠：找不小於需求的最小可用金額 提款機若只提供千元鈔票，可提領的金額便以1000元為單位。要求「至少提領多少才夠」，就是找出不小於商品價格的最小千元整數倍，因此適合用無條件進入法取至千位。 例如，商品價格為25420元，提領25000元仍不足，26000元才是符合條件的最小金額。這裡的「只提供千元鈔票」決定取至千位，「至少要夠」決定使用無條件進入法，兩項條件缺一不可。同理，「到提款機領足夠的錢買某樣商品」就是典型的無條件進入法情境。 相對地，若規定「貨櫃裝滿才能出貨」，能出貨的貨櫃數只計完整裝滿的部分；剩餘貨物不足一櫃，不能另算一櫃出貨，因此類似無條件捨去法。若改成「要把全部貨物裝走，至少需要幾櫃」，才是無條件進入法。 單純購買商品、拍賣、折扣或殺價，本身並未交代取到哪一位，也沒有明確的進位或捨去規則，不能只因價格變動，就認定是無條件進入法。 四、實際計費：看未滿一單位的部分如何處理 計費題應先找出基本費用，再辨認追加收費的單位與門檻。若有起跳里程或基本費用，應針對超出基本範圍的部分判斷，不能直接將全部里程除以追加計費單位。 不足一單位仍按一單位收費：只要進入下一個計費區間，即使尚未走完該區間，也要計收一次，類似無條件進入法。 累積滿一單位才收費：只計已完成的計費單位，尚未達門檻的餘數不計，類似無條件捨去法。 以常見的計程車費率為例：計程運價（續程里程）採「不足追加里程仍計一次」，類似無條件進入；延滯計時運價採「累積滿規定時間才計一次，未滿不計」，類似無條件捨去。同一項服務中的里程費與時間費，可以採用不同原理。應依費率表中「不足……以……計」或「未滿……不計」的文字判斷，不能只憑「計程車收費」推定兩者相同。 五、四捨五入後的概數，如何反推原數範圍 題目只說「約」而未指明方法時，一般以四捨五入理解，並以概數最後一個非0的位數作為取近似的位值。對本單元涉及的正數，若以四捨五入取至某單位，原數範圍為： 概數－取近似單位的一半 ≤ 原數 ＜ 概數＋取近似單位的一半。 下界恰好位於中點，會向上進入目標概數，所以包含；上界恰好位於下一個中點，會進入更大的概數，所以不包含。 例如，人口約為1100萬人，最後一個非0位數在百萬位，也就是以100萬人為單位，半個單位為50萬人，因此： 1050萬人 ≤ 真正人口 ＜ 1150萬人。 1050萬位於下界，四捨五入後可得1100萬；1140萬、1144萬也在範圍內。1022萬低於下界，取至百萬位會得到1000萬，不能得到1100萬。若以整數人數表示，符合範圍的最少人口為10500000人，最多為11499999人。 反推範圍前，一定要先確認採用的方法與近似位值。不能把「概數上下各半個單位」套用到無條件進入或無條件捨去。以取至百萬位為例： 方法得到「1100萬」的原數範圍 四捨五入法1050萬 ≤ 原數 ＜ 1150萬 無條件捨去法1100萬 ≤ 原數 ＜ 1200萬 無條件進入法1000萬 ＜ 原數 ≤ 1100萬 常考陷阱 看到「至少」就直接進位：還要確認所求是否必須涵蓋全部需求，以及可使用的單位。例如提款須同時考慮金額足夠與鈔票面額。 認為四捨五入一定夠用：四捨五入可能使金額變小，不能保證支付足夠。要求足額時，應檢查結果是否低於需求。 位值選錯：提款機只出千元鈔，就必須取至千位；取至百位的結果（如25400）根本無法提領。 只看被捨去部分的第一位判斷無條件進入：無條件進入要檢查整段餘數。例如25001取至千位，雖然百位是0，仍有1元餘數，須取為26000。 把「裝滿才出貨」誤當作「全部裝完」：前者計算完整裝滿的櫃數，屬無條件捨去；後者計算容納全部貨物所需的櫃數，屬無條件進入。 把買東西、殺價當作取概數情境：沒有明確位值與進捨規則的情境，不屬於無條件進入法。 把所有計費都視為無條件進入：「不足仍計」才進入；「未滿不計」則捨去。計程車的里程費與延滯計時費方向相反。 反推範圍時把兩端都包含：四捨五入的原數範圍是「下界包含、上界不含」。恰好到達上界，就會進到下一個概數。 混淆「萬」與取近似單位：1100萬是概數的表示方式；取至百萬位時，單位是100萬，反推時應加減50萬，而不是加減5000。 記憶口訣 先看單位，再看規則；要夠往上，滿額才算；不足仍計是進入，未滿不計是捨去；四捨五入，看下一位；反推半格，下含上不含。