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學習重點 區分周長與面積：周長量的是邊界長度，面積量的是平面區域大小，兩者不能互相代替。 由相同小正方形拼成的圖形，可用方格數比較面積，用外露邊數比較周長。 掌握反例判準：「周長較長，面積一定較大」只要遇到周長較長但面積相同或較小的情況，就不成立。 運用長方形公式與整數因數配對，建構符合指定條件的實例，並寫出計算與比較。 分辨支持命題的例子與推翻命題的反例，並能把判斷方法應用於互質、質數等概念。 核心觀念 一、周長與面積測量的對象不同 周長是圖形邊界的總長度；面積是圖形所占平面區域的大小。周長使用公分、公尺等長度單位；面積使用平方公分、平方公尺等面積單位。圖形看起來較長、較寬或較曲折，都不能只憑外觀推斷它的面積與周長關係。 比較項目周長面積 測量對象沿邊界繞一圈的長度圖形覆蓋的平面區域大小 方格圖判讀計算外露的單位邊計算所占的單位方格 長方形公式2 ×（長＋寬）長 × 寬 常用單位公分平方公分 因此，面積相同，周長可能不同；周長相同，面積也可能不同。兩者之間沒有「知道其中一個，就能唯一決定另一個」的固定對應關係。 二、相同小正方形拼圖：先數格，再數邊 若每個小正方形邊長為 s，使用 n 個小正方形，在沒有重疊的情況下，總面積就是 n × s²。因此，比較同樣大小的小正方形所拼圖形時，方格數相同，面積就相同，與排列是否細長、彎折無關。 周長則要看哪些邊露在圖形外側。兩個小正方形相接時，接合處的邊位於圖形內部，不能列入周長。若沿方格線排列，且每次都是整條邊相接，設共有 e 組共用邊，則： 周長＝（4n－2e）× s。每組共用邊原本被兩個正方形各算一次，所以要扣除兩條邊的長度。只有頂點接觸時，沒有共用邊，不作此項扣除。 選擇「面積相同、周長不同」的一組圖形時，依序檢查兩個條件： 先數方格數：兩圖形的小正方形個數必須相同（面積相同）。 再數外露邊：兩圖形的外露邊數必須不同（周長不同）。 相同格數下，排得愈緊密（愈接近正方形），共用邊愈多，周長愈短；排成一長條或彎彎曲曲，共用邊較少，周長較長。不能只數小正方形個數就判定周長相同，也不能挑到格數相同、外露邊數也剛好相同的一組。 三、全稱命題與反例的判斷 「只要圖形的周長比較長，它的面積就會比較大」是一個主張所有情況都成立的全稱條件句。判斷反例時，要同時檢查：前提是否成立，以及結論是否失敗。 兩圖形的比較結果能否推翻上述命題判斷理由 周長較長，面積較大不能只是符合命題的一個例子 周長較長，面積相同可以面積相同就不符合「面積較大」 周長較長，面積較小可以前提成立，結論卻不成立 周長相同，面積不同不能直接推翻不符合「周長較長」的前提 如果兩圖形「周長不同，但面積相同」，就把周長較長的那個圖形當作比較主體：它周長較長，面積卻沒有較大，即為有效反例。反例不必讓面積變小，只要沒有變大就足夠。所以「周長不同、面積相同」與「周長較長、面積較小」兩種回應，都能推翻該說法。 舉出一個或多個符合命題的例子，只能說明那些例子符合，不能保證所有情況都成立；但只要一個符合前提、違反結論的反例，就能推翻全稱命題。推翻原命題後，正確結論是「不一定」，不能逕自改說「周長愈長，面積一定愈小」。 四、長方形實例：用公式建構並驗算 長方形周長看長與寬的和，面積看長與寬的積。和較大，不代表積也較大。建構方法： 面積相同、周長不同：先選定一個面積，再列出不同的正整數因數配對（例如 12＝12×1＝6×2＝4×3），兩邊差距愈大，周長愈長。 周長較長、面積較小：讓甲細長（寬為 1），乙接近正方形；計算確認甲周長較大、面積較小。 比較目的甲長方形乙長方形驗算結果 周長較長，面積相同長 12 公分、寬 1 公分長 4 公分、寬 3 公分周長：26＞14；面積：12＝12 周長較長，面積較小長 10 公分、寬 1 公分長 4 公分、寬 3 公分周長：22＞14；面積：10＜12 周長相同，面積不同長 5 公分、寬 1 公分長 4 公分、寬 2 公分周長：12＝12；面積：5＜8 表中周長的單位為公分，面積的單位為平方公分。申論作答應寫出長、寬、周長、面積及比較結果，不要只畫一個看似細長的圖形。若要求整數公分，兩個邊長都必須是正整數，且要確認甲、乙的大小關係符合題目指定方向（是「甲」的周長較長，不要把甲、乙寫反）。 五、將反例方法應用於互質與質數 互質是兩個正整數的最大公因數為 1；質數是大於 1，且正因數只有 1 與本身的正整數。互質描述兩數之間的關係，質數描述單一數本身的性質，不能混為一談。 「如果兩數互質，那麼這兩數一定都是質數」同樣是全稱條件句： 舉 3 與 5（互質且都是質數）來支持，只是符合命題的個例，不能證明命題成立，所以據此說「他說的對」是錯誤回應。 舉 5 與 27：最大公因數為 1，互質成立；但 27＝3×3×3 是合數，結論失敗，構成反例，所以據此說「他說錯了」是正確回應。 要推翻「兩數都是質數」，只要其中一個不是質數即可，不必要求兩個都是合數。其他反例如 4 與 9（兩數都是合數仍互質）、1 與 8（1 不是質數）。 常考陷阱 「面積一樣，所以周長也一樣」：面積看覆蓋量，周長看邊界；應分別計算，不能互相代推。 「把每個小正方形的四條邊全部相加」：共用邊不是圖形的外露邊，直接相加會高估周長。 「選格數不同的兩圖，或格數相同但外露邊數也相同的兩圖」：前者面積不同，後者周長相同，都不符合「面積相同、周長不同」。 「面積必須較小才算反例」：原結論是嚴格的「較大」，面積相同也已使結論失敗，同樣能推翻。 「周長相同、面積不同，就能推翻周長較長則面積較大」：反例必須先符合原命題的前提，不能只看兩個量沒有固定對應。 「再找一組符合的例子，就證明一定成立」：個例驗算不等於一般證明；應檢查是否存在反例。 「長方形愈細長，面積一定愈小」：缺少固定面積或固定周長等條件，不能直接下結論，仍須代入公式比較。 「兩數互質，所以各自都是質數」：最大公因數為 1，不表示每個數都沒有其他因數；且 1 不是質數。 記憶口訣 面積數格，周長數邊；共邊扣二，單位分清。長寬加總算周長，長寬相乘算面積。反例前提要符合，結論失敗就推翻；正例再多非通則，一個反例破「一定」。