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學習重點 掌握盒狀圖的最小值、下四分位數、中位數、上四分位數、最大值，辨認兩端、盒緣與盒內線段各代表什麼。 熟用四分位距＝上四分位數－下四分位數，區分盒長、全距與半個盒子的長度。 理解盒狀圖的資訊限制：一般無法由圖確定平均數；只有最小值與最大值可斷定一定有人考到，四分位數則不一定。 會從相對累積次數折線圖（肩形圖）縱軸的25%、50%、75%讀取三個四分位數，再與盒狀圖逐一比對。 核心觀念 一、盒狀圖：先認位置，再讀數值 盒狀圖將排序後資料的重要位置濃縮成「五數摘要」。閱讀橫向盒狀圖時，先看清楚分數軸與刻度，再由左至右辨認五個位置；若是直向呈現，則依數值由小到大的方向判讀，不要死背左右。 圖上位置代表數值判讀重點 左側鬚端點最小值在鬚端表示極值的一般盒狀圖中，為實際出現的最低分。 盒子左緣下四分位數 Q1代表資料約四分之一處的位置。 盒內線段中位數 Q2代表排序後居中的位置，並非平均數。 盒子右緣上四分位數 Q3代表資料約四分之三處的位置。 右側鬚端點最大值在鬚端表示極值的一般盒狀圖中，為實際出現的最高分。 五數摘要由小到大滿足最小值 ≤ Q1 ≤ Q2 ≤ Q3 ≤ 最大值。資料重複時，相鄰位置可能相等，因此圖上的線段也可能重疊。 一般盒狀圖以兩端表示最小值與最大值。若題目另標離群值，或明確採用不同的鬚端規則，則須依圖例判讀，不能一律把鬚端當作極值。 二、四分位距看盒長，全距看兩端 四分位距 IQR＝Q3－Q1，也就是盒子沿分數軸方向的長度，用來描述中間約一半資料的分散程度。四分位距越大，表示這部分資料分布的數值範圍越廣；越小，則越集中。 全距＝最大值－最小值，描述全部資料從最低到最高所跨越的範圍。全距與四分位距使用的端點不同，不能混用。 計算式代表意義 Q3－Q1四分位距，即盒子的長度。 最大值－最小值全距，即整組資料的數值跨度。 Q2－Q1盒子較低分一側的跨度，並非完整四分位距。 Q3－Q2盒子較高分一側的跨度，並非完整四分位距。 例如 Q1＝35、Q2＝55、Q3＝72，四分位距就是 72－35＝37。若誤用 Q3－Q2＝72－55＝17，只算到半個盒子；若直接把某個盒緣讀數（如 35）當成答案，更是沒有相減。作答時應先指出兩個盒緣所對應的數值，再相減，不要拿盒內中位數線或鬚端代替。 用語要留意：本單元題目將「四分位差」與「四分位距」都當作 Q3－Q1，依此判讀即可；部分教材另以「四分位差」表示半四分位距，即（Q3－Q1）÷2。遇到題目明列定義時，應以題目定義為準。 三、「圖上標有這個數」不等於「一定有人考這個分數」 最小值與最大值是從實際資料中找出的極值，因此在一般盒狀圖中，若最低分標為 3 分，就能判斷班上一定有人考 3 分。 但中位數、下四分位數與上四分位數可能由相鄰資料取平均得到，不一定是某位學生的實際成績。例如中間兩筆資料是 54 與 56，中位數為 55，卻未必有人考 55 分。同理，72 若是盒子右緣（Q3），不能只憑這個位置斷定一定有人考 72 分。 數值是否一定有人考到 最小值、最大值一定有（為實際資料） Q1、Q2、Q3不一定（可能是兩筆資料的平均） 平均數不一定，且通常無法由盒狀圖得知 四分位數是用來描述排序位置的界線。資料有重複值時，也不能把每一道界線解讀成「恰好有四分之一的人嚴格小於它」。判讀時應掌握約四等分的位置概念，避免對嚴格小於、等於的人數作過度推論。 四、盒狀圖通常無法確定平均數 平均數＝全部資料總和÷資料筆數；中位數則取決於排序後的中央位置。盒內線段表示中位數，不能因它對應 55 分，就說平均數也是 55 分。 盒狀圖沒有列出每一筆成績，也通常沒有提供總分。不同資料可能具有相同的五數摘要，卻有不同的平均數。因此，單憑一般盒狀圖通常無法確定平均數，也無法還原全部個別觀測值。 即使盒子或兩側鬚看起來接近對稱，也不足以保證原始資料完全對稱，更不能據此斷定平均數一定等於中位數。 五、由肩形圖讀四分位數，再配對盒狀圖 相對累積次數折線圖也常稱為肩形圖。橫軸通常表示分數，縱軸表示累積相對次數，也就是累積到某分數界線時所占的比例。隨著分數提高，累積比例不會下降。 由肩形圖找四分位數，關鍵是先找縱軸比例，再讀橫軸分數： 在縱軸找到 25%，水平移至該班折線，再向下讀橫軸，得到 Q1。 用同樣方法從 50% 找出 Q2，即中位數。 從 75% 找出 Q3，即上四分位數。 若縱軸使用小數，25%、50%、75%分別對應 0.25、0.50、0.75。這三個比例是縱軸的累積比例，不是橫軸上的 25 分、50 分、75 分。 多班配對時，先讀盒狀圖的 Q1、Q2、Q3，再檢查各班折線在這三個高度所對應的分數。可先用最容易辨認的中位數排除不合者，再核對上下四分位數；同一班的三個位置都要吻合，不能只符合其中一個就選定。 另外，折線最左端（累積比例開始上升處）與最右端（到達 100% 處）大致對應最低分與最高分所在範圍，可作為輔助檢查，但仍以三個四分位數的比對為主。 若指定比例落在兩個已標示點之間，應依題圖的折線位置讀值，不能擅自跳到最近的端點；圖形精度不足時，也不要推算出超過圖示精度的數值。 常考陷阱 「盒內線段對應多少分，平均數就是多少分」：盒內線段是中位數。平均數需要總和與筆數，不能直接讀取，此類選項應判為錯誤。 「盒緣標示某分數，所以一定有人考該分數」：四分位數可能由兩筆資料平均而得，不一定有人考到。先辨認它是極值還是四分位數，再判斷是否必然出現。 「最低分只是參考，未必有人考到」：一般盒狀圖的最小值與最大值必定是資料中出現過的值，「一定有人考最低分」是正確敘述；但單純的座標刻度沒有這個意義。 「四分位距＝Q3－Q2」或「直接取某個盒緣讀數」：這只算到半個盒子或根本沒相減。四分位距（四分位差）要用兩個盒緣相減：Q3－Q1。 「四分位距用最高分減最低分」：這算出的是全距。 「盒子較長，表示盒內人數較多」：盒長表示分數跨度。四分位數所切分的是排序位置，線段長短不能直接當作人數多寡。 「累積比例是75%，表示有75%的人考該分數」：累積比例描述累積到該界線的比例，不是單一分數的比例。 「中位數吻合，就一定是該班」：不同班可能有相同或相近的中位數，仍須核對 Q1 與 Q3，不能混用不同班折線的交點。 記憶口訣 「兩端極值必有人、盒緣四分不一定；盒長相減求四分，平均難定莫亂猜。」 「累積找四分：二五、五十、七五；先橫找線，再直讀分，三點全對才是它。」