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學習重點 掌握等速圓周運動的時間、轉角與週期關係，能由一圈所需時間求出半圈、四分之一圈的時間。 以最低點為起點，建立摩天輪的高度模型，分清楚半徑、圓心高度、最低高度與最高高度。 利用高度的增減、對稱性與週期性，比較不同時刻的高度，不必逐一計算三角函數近似值。 辨別車廂數量與單一車廂運動週期的用途，並把經過時間正確換算為鐘面時刻。 核心觀念 一、等速圓周運動：先把時間換成轉角 摩天輪等速率運轉，表示車廂沿圓周移動的速率固定，因此相同時間轉過相同角度。設轉一圈所需時間為 T 分鐘，經過 t 分鐘所轉過的角度為： 轉角＝360° × t／T。 若一圈需 18 分鐘，每分鐘便轉過 360° ÷ 18＝20°。因此，半圈需 9 分鐘，四分之一圈需 4.5 分鐘，也就是 4 分 30 秒。時間與轉角成正比，是判斷車廂位置的基本工具。 最低點與最高點位於同一直徑的兩端，從最低點出發，第一次到達最高點必須轉過半圈。所以應先求 T／2，再加上開始搭乘的時刻。若從 10：00 開始、一圈 18 分鐘，經過 9 分鐘的鐘面時刻就是 10：09。 車廂順時針或逆時針運轉，都不影響上述結論：從最低點出發，兩個方向皆須經過半圈才會首次抵達最高點。 二、從最低點出發的高度函數 設摩天輪半徑為 R，圓心離地高度為 C，並以開始搭乘的時刻作為 t＝0。從最低點出發的高度函數可寫成： h(t)＝C－R cos(2πt／T)。 其中，2πt／T 為弧度表示的轉角；若採角度制，則寫成 h(t)＝C－R cos(360° × t／T)。兩種寫法意義相同，但角度與弧度的單位必須一致。 這個模型以圓心高度 C 為基準，再加上車廂相對圓心的垂直位移。由於出發點在最低處，所以餘弦項前面是負號。 經過時間車廂位置離地高度 0最低點C－R T／4與圓心同高，正在上升C T／2最高點C＋R 3T／4與圓心同高，正在下降C T回到最低點C－R 若題目給的是最低點離地高度 m，因為 C＝m＋R，也可寫成h(t)＝m＋R[1－cos(2πt／T)]。不可直接把半徑當成圓心高度，除非已知最低點恰在地面上。 同一個運動也能用正弦表示，例如 h(t)＝C＋R sin(2πt／T－π／2)。正弦與餘弦都可以建立模型，關鍵是起始位置、振幅與週期必須吻合。 三、比較高度：先看增減，再用對稱 從最低點出發，在第一圈內，0 到 T／2 持續上升；T／2 到 T 持續下降。因此，若兩個時刻都在上升區間，較晚者較高；若都在下降區間，較早者較高。 若比較的時刻分別位於最高點之前與之後，就不能只看時間先後。此時可運用最高點兩側的高度對稱：在同一圈內，與抵達最高點的時間差相同，車廂便同高。 具體而言，h(T／2－a)＝h(T／2＋a)，其中 0 ≤ a ≤ T／2。當 a 越小，位置越接近最高點，高度越高。因此，比較第一圈內的高度，可以比較各時刻與 T／2 的時間差，時間差越小，高度越高。 另一種做法是把下降階段的時刻「對折」到上升階段。因為h(t)＝h(T－t)，所以週期為 18 分鐘時，經過 10 分鐘與經過 8 分鐘同高，經過 13 分鐘與經過 5 分鐘同高。把比較時間都換到上升區間後，就能依時間先後判斷高度。 四、實例演練：一圈 18 分鐘，10：00 自最低點出發 最高點在經過 9 分鐘時（10：09）。比較 10：07、10：10、10：13 三個時刻的高度 h₁、h₂、h₃： 時刻經過時間轉角與最高點時間差對折到上升段高度式 10：077 分140°2 分（上升中）7 分C－R cos140°≈C＋0.77R 10：1010 分200°1 分（下降中）8 分C－R cos200°≈C＋0.94R 10：1313 分260°4 分（下降中）5 分C－R cos260°≈C＋0.17R 三種方法結論一致：時間差 1＜2＜4 分鐘，故h₂＞h₁＞h₃。也可從角度看：200° 與最高點 180° 只差 20°，140° 差 40°，260° 差 80°，離最高點角度越小越高。 申論作答建議寫出：①每分鐘轉 20°（或半圈 9 分鐘）；②最高點在 10：09；③利用最高點兩側對稱或高度函數比較；④寫出結論 h₂＞h₁＞h₃。這種比較不需要知道半徑與圓心高度。 五、週期性與車廂數量的用途 車廂每轉一圈便回到原位置，因此h(t＋T)＝h(t)。若經過時間超過一圈，可先減去整數倍的 T，再依剩餘時間判斷高度。使用「離最高點時刻多遠」的方法時，也應先確認所比較的是同一圈內的位置。 摩天輪有多少個車廂，不會改變同一車廂從最低點到最高點需要半圈的事實。若另有車廂等距排列的條件，才能利用車廂數求相鄰車廂的角度或通過同一位置的時間間隔。例如 12 個車廂等距排列時，相鄰夾角為 30°；週期為 18 分鐘時，相鄰車廂通過固定位置的間隔為 1.5 分鐘。 常考陷阱 把一圈時間當成到最高點的時間：從最低點到最高點是半圈；經過一整圈會回到最低點。答成 10：18 即是此錯誤。 看到車廂數就先除：一圈時間除以車廂數，在等距排列時求得的是相鄰車廂通過同一位置的間隔，不能直接當成到最高點的時間。 認為越晚搭得越高：高度只在前半圈隨時間增加，後半圈會下降；跨越最高點比較時，要用對稱性。誤答 h₃＞h₂＞h₁ 或 h₁＜h₂＜h₃ 都是忽略了這點。 只看是否「已過最高點」：已過最高點的時刻不一定比較低；剛過頂點 1 分鐘的位置，比距離頂點還有 2 分鐘的位置更高。 把等速運轉誤解為高度等速增加：等時間對應等轉角，但高度的變化量不固定，不能用直線比例推算。 模型寫成 C＋R cos(2πt／T)：此式在 t＝0 時位於最高點，不符合從最低點出發的條件。代入起始時間，是檢查模型最快的方法。 以為缺少半徑就無法比較：同一摩天輪各時刻共用相同的圓心高度與半徑，只比較高低時，可直接利用位置、增減與對稱判斷。 只寫經過幾分鐘：題目若問幾點幾分，須將經過時間加回開始時刻；申論作答宜附上「最低到最高需半圈」的理由。 記憶口訣 「最低起，半圈頂；前半升，後半降；頂點兩側對稱看，離頂越近位置高。」 「先求經過時間，再加鐘面時間；車廂數看用途，別把間隔當半圈。」