圓與矩形的線段關係

MoAI - 您的AI助手

建立於 2026年11月10日

學習重點 看見圓上點與圓心連線，立即標出半徑。看見圓上點向兩條互相垂直的半徑作垂線，先辨認所形成的矩形。 熟記矩形對邊等長、兩條對角線等長，可直接判斷兩垂足間的距離等於半徑。 分清楚「兩線段長的平方和」與「兩線段長的和」，正確使用畢氏定理。 遇到畫弧與矩形結合的長度題，依序處理：先用同圓半徑相等，再找直角三角形，最後依各點在邊上的位置求差或求和。 面積題先判斷斜線區域由哪些圖形組成，再選用矩形、三角形或扇形的面積公式加減。 核心觀念 一、圓上點向兩條垂直半徑作垂線：先找矩形 設圓心為 O、半徑為 r，A 為圓上一點。由 A 向兩條互相垂直的半徑所在直線作垂線，垂足分別為 B、C。依 O、B、A、C 的順序連線，可形成矩形 OBAC。以下先討論 A 不在兩條半徑上的情形。 OB 與 OC 垂直，AB 又垂直於 OB，所以 AB 平行於 OC；同理，AC 平行於 OB。因此四邊形的四個角都是直角，確實是矩形。這個結論要靠推理得出，不能只憑圖形看起來像長方形。 矩形對邊等長，所以 OB＝AC、OC＝AB。又因 A 在圓上，所以 OA＝r。圓的條件就是透過這三組關係，轉換成矩形的邊長。 在直角坐標平面上，若圓心在原點，「過圓周上一點 A 作與 x 軸、y 軸垂直的線段」就是同一種圖形。兩條坐標軸互相垂直，作用相當於兩條垂直半徑；原點、兩個垂足與 A 構成矩形。 二、畢氏關係：兩條垂線長的平方和等於半徑平方 在直角三角形 OBA 中，OA 是斜邊，因此 OB²＋AB²＝OA²。代入 OB＝AC、OA＝r，可得： AB²＋AC²＝r²。 也可以直接觀察直角三角形 ABC：AB 與 AC 垂直，所以 AB²＋AC²＝BC²。再配合矩形對角線等長，同樣得到這個結論。 若已知 AB＝a、AC＝b，則 r＝√(a²＋b²)；若已知半徑與其中一條垂線長 a，則另一條為 √(r²－a²)。求斜邊用平方和，求直角邊用平方差。 用坐標也能理解：若 A 的坐標為 (x，y)，兩條垂線長分別為 |x|、|y|，而圓上的點滿足 x²＋y²＝r²。A 落在不同象限時，坐標可能為負，但線段長一律取非負值，平方關係不變。 三、矩形對角線等長：兩垂足的距離就是半徑 在矩形 OBAC 中，OA 與 BC 各自連接一組相對頂點，所以兩者都是對角線。矩形的兩條對角線等長，故： BC＝OA＝r。 這個結果與 A 在圓周上的位置無關。A 移動時，矩形的長和寬會改變，但 OA 始終是半徑，所以 BC 固定等於 r。若題目只問兩垂足距離與半徑的大小關係，直接用對角線等長即可得到「相等」，不必先求兩條垂線長，也不會「條件不足」。 反過來說，若題目給的是兩垂足的距離，這個長度就是半徑，可立即用來求圓面積或扇形面積。 若 A 恰好落在半徑或坐標軸上，矩形會退化，其中一條垂線長為 0。此時由距離或平方關係，仍可得到兩垂足距離等於 r。 比較對象正確關係判斷依據 兩條垂線長的平方和AB²＋AC²＝r²畢氏定理 兩垂足間的距離BC＝r矩形對角線等長 兩條垂線長的和兩線段皆大於 0 時，AB＋AC＞r三角形兩邊和大於第三邊 兩條垂線各自的長度通常隨 A 的位置改變固定的是平方和，不是每一條邊長 四、矩形內畫弧：把畫弧敘述轉成等長線段 「以某點為圓心、某線段為半徑畫弧」提供的是距離條件。例如，以 B 為圓心、以長度為 R 的線段為半徑畫弧，若 F 在這段弧上，就有 BF＝R。題目若畫兩段弧，要分別找出各自的圓心、半徑與交點，再寫出各自的等長關係。 圓弧通常只用來確定交點位置。解題時應連出「圓心到交點」的線段，再配合矩形的直角找直角三角形；不能把圓弧長當成三角形的邊長。 標直角：矩形相鄰兩邊互相垂直，邊上的分段也能形成直角三角形。 標半徑：把作圖指定的半徑長，寫到圓心與交點之間的線段上。 求中間線段：確認哪一邊是斜邊，再用畢氏定理計算。 回到所求線段：依各交點在邊上的先後位置，用整段扣除已知部分，或合併相關分段。 數值上，50²＋120²＝130²，即常見的 5：12：13 直角三角形放大 10 倍。以長 130、寬 50 的矩形為例： 以一個頂點為圓心、長邊 130 為半徑畫弧，交到對面的長邊上。圓心到交點是斜邊 130，矩形的寬 50 是一股，所以另一股為 √(130²－50²)＝120。這 120 是從相鄰頂點量到交點的距離，所以交點到這條長邊另一端只剩 130－120＝10。 以另一個頂點為圓心、短邊 50 為半徑畫弧，交到同一條長邊上。圓心與交點在同一直線上，所以交點到圓心的距離就是 50，不必使用畢氏定理。 兩交點落在同一條長邊上時，比較兩者到同一端點的距離再相減，例如 50－10＝40。也可以從另一端計算：120－(130－50)＝40，兩種算法結果一致。 重點是：求出 120 只是中間步驟。所求線段通常是邊上的一段，必須回到圖形確認兩端點的位置，不能直接選 120，也不能只用 130－50 這類未經推理的相減。 五、斜線面積：先辨認邊界，再決定公式 沿用 AB＝a、AC＝b，矩形 OBAC 的面積為 ab。對角線把矩形分成兩個等面積三角形，每個三角形面積為 ab÷2。若已知半徑與其中一邊，可先由 a²＋b²＝r² 求出另一邊，再計算面積。 若斜線區域含有圓弧，先檢查它是否為扇形，或能否表示成「扇形扣除三角形或矩形」。圓心角為 θ 度的扇形面積為 (θ÷360)×πr²。兩條半徑互相垂直時，所夾的扇形就是四分之一圓，面積為 πr²÷4。 本單元常見的組合如下： 題目給兩垂足的距離 BC，即可得到半徑 r＝BC，不必知道 A 的位置。 四分之一圓扣掉矩形 OBAC 時，斜線面積＝πr²÷4－AB×AC；此時需要知道兩邊長，或能由條件求出。 四分之一圓扣掉三角形 OBC 或三角形 ABC 時，扣除的面積是矩形的一半。 申論題的面積作答，應先寫清楚「所求面積＝哪個完整區域－哪些區域」，再代入數值。答案可保留 π；若題目要求近似值，再依題目指定的 π 值計算。線段長使用公分、公尺等單位；面積使用平方公分、平方公尺。 常考陷阱 把平方和誤讀成長度和：AB²＋AC²＝r² 不能改寫成 AB＋AC＝r，因為平方根不能拆開分別相加。實際上，兩垂線皆不為 0 時，AB＋AC＞r。 選「條件不足，無法判斷」：問的若是兩垂足距離，矩形對角線已保證它等於半徑，無須知道 A 的坐標。 選「大於 r」或「小於 r」：兩垂足並非任選的兩點，它們與 O、A 構成矩形，所以兩垂足距離必定等於 r。 把矩形當成正方形：兩條半徑垂直，不代表 AB＝AC。沒有額外的等長條件，就不能假設兩邊都是 r÷√2。 把矩形性質套到任意四邊形：使用對角線等長之前，必須先確認該四邊形是矩形。 看到 130、50 就直接相減：只有同一直線上的整段與部分才能直接相減；若兩者是直角三角形的斜邊與一股，必須用平方差再開根號。 把作圖半徑認錯：半徑連接的是「圓心與弧上點」。兩段弧若半徑不同，不能互相套用等長關係。 求出中間邊長就停止：所求線段可能只是邊上的剩餘部分。算出 120 後，還要換算成到端點的距離，再求兩交點之間的距離。作答前須確認兩端點，並檢查是否漏扣或重複扣除。 看見弧線就用四分之一圓：先確認圓心、兩條邊界半徑與圓心角。斜線區域若還被其他線段切割，必須再作面積加減。 記憶口訣 垂足先成矩，對角等半徑；兩股平方加，恰是半徑方。 畫弧先連心，直角找畢氏；入口看分段，面積辨邊界。