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學習重點 掌握圓面積公式 A＝πr²，並能改寫為 A＝πd²÷4；圓周長則為 C＝2πr＝πd。 理解圓面積與半徑或直徑的平方成正比；當價格與面積成正比時，價格也依平方倍數變化。 能用等分扇形、交錯剪拼、觀察趨近的活動，說明圓面積＝半徑×圓周長的一半。 分清楚面積與周長的意義及單位，並能就兩者數值相等的條件建立方程式。 核心觀念 一、先分清半徑、直徑、周長與面積 半徑記為 r，直徑記為 d，兩者關係為 d＝2r。圓周長是圓形邊界的長度；圓面積是圓形內部所占平面的大小。計算前，先判斷題目給的是半徑還是直徑，再決定使用哪個公式。 比較項目圓周長 C圓面積 A 以半徑表示2πrπr² 以直徑表示πdπd²÷4 常見單位公分、公尺平方公分、平方公尺 直徑變為 k 倍變為 k 倍變為 k² 倍 以直徑計算面積時，必須先將直徑除以 2，再平方：A＝π×（d÷2）²＝πd²÷4。除以 2 也要一起平方，因此分母是 4。 二、圓面積與直徑平方成正比 比較兩個圓時，由 A＝πd²÷4 可知，公式中的 π÷4 相同，因此面積比只取決於直徑平方之比： A₂÷A₁＝（d₂÷d₁）²＝（r₂÷r₁）²。 例如，直徑比為 3：2，面積比就是 9：4；直徑變為原來的 2 倍，面積變為 4 倍；直徑縮為原來的一半，面積縮為四分之一。半徑與直徑雖然相差 2 倍，但比較兩個圓時，半徑比與直徑比相同，因此可直接用直徑比平方，不必逐一換成半徑。 當題目明示價格與面積成正比，可設價格 P＝kA，其中 k 是固定的每單位面積價格，故： P₂＝P₁×（d₂÷d₁）²。 作答時依序確認「正比條件→直徑比→約分→平方→乘上原價格」。例如直徑比 12：8 先約成 3：2，即 1.5 倍；平方後為 2.25 倍，原價格乘以 2.25 即為所求。 披薩厚度相同時，體積＝面積×固定厚度，體積同樣只與面積成正比，因此不會出現立方關係。若已知價格與面積成正比，就不必額外計算厚度或體積。 倍數關係（直徑變為 1.5 倍時）對應的量倍數 一次方直徑、周長1.5 倍 平方面積（及厚度固定時的價格、體積）2.25 倍 立方三維皆按比例放大的立體體積3.375 倍 三、圓面積公式的推導：等分扇形與交錯剪拼 圓面積推導適合以扇形分割。從圓心向圓周畫出多條半徑，把圓分成偶數個相等扇形，再將扇形尖端交替朝上、朝下排列，可拼成近似平行四邊形或長方形的圖形。剪拼只有改變位置，沒有重疊或缺漏，故面積保持不變。 扇形分得越細，每一小段圓弧看起來越接近直線，拼成的圖形也越接近長方形。其長趨近圓周長的一半，寬趨近半徑，因此可合理說明： 圓面積＝半徑×（圓周長÷2）＝r×（2πr÷2）＝πr²。 「圓周長的一半」來自上下兩側各分配一半的圓弧：原來整個圓周被分成兩組，分別排在拼圖的上、下邊界。它不是任意把周長除以 2，也不是把整個圓周當成長方形的長。 為何是扇形：扇形的兩條邊都是半徑，弧是圓周的一部分，拼好後半徑成為寬、圓弧成為長，才能把圓面積和「半徑」「圓周長」連結起來。梯形、正方形無法無縫地分割圓；弓形由弦與弧圍成，不含半徑，無法得到上述對應。 四、教學活動如何寫得完整 準備與標記：提供相同大小的圓形紙片，標出圓心及半徑，將圓等分成 8、16、32 個扇形，並以兩種顏色區分各占圓周一半的扇形。 剪拼與守恆：沿半徑剪開，將扇形交錯排列，提醒學生檢查沒有重疊或缺漏，確認拼前拼後面積相同。 比較與觀察：比較不同等分數的拼圖，引導學生發現分割越細，上下邊界越平直，整體越接近長方形。 對應與提問：引導學生指出，長方形的長對應圓周長的一半，寬對應半徑，並說明上下兩側為何各只有一半圓周。 列式與歸納：以長方形面積＝長×寬，寫出 r×（C÷2），再代入 C＝2πr，得到 πr²。 申論作答要呈現操作方式、面積守恆、長寬對應及公式連結，不能只寫「剪一剪，拼成長方形」。小學教學著重直觀而合理的說明，可透過比較分割數與動態圖示呈現趨近，不必要求學生使用正式的極限證明。 五、圓面積與圓周長數值相等 當題目說誤用周長公式，卻得到與正確面積相同的數值，可在題目採用的長度單位下，以直徑建立等式： πd²÷4＝πd。 圓的直徑 d＞0，兩邊同除以 πd，得到 d÷4＝1，所以d＝4。也可用半徑列式 πr²＝2πr，求得 r＝2，再換算 d＝4。 驗算：d＝4 時，面積＝π×2²＝4π，周長＝π×4＝4π，兩者數值相同。 這裡相等的是依指定單位計算的數值，並非長度與面積是同一種量。若長度單位為公分，則直徑 4 公分的圓，其周長為 4π 公分，面積為 4π 平方公分；數字部分相同，單位仍不同。 常考陷阱 把價格依直徑倍數直接放大：價格與面積成正比時，應使用直徑比的平方；只乘直徑倍數（1.5 倍），算到的是周長的變化關係。 誤用立方：以為披薩是立體就用直徑比的立方。厚度相同時體積也只與面積成正比，仍是平方，不是立方。 以為直徑加多少，面積就增加相同比例：直徑增加 50%，代表變為 1.5 倍，面積變為 2.25 倍，即增加 125%。要分清「變為幾倍」與「增加百分之幾」。 直接把直徑代入 πr²：這會把直徑當半徑，使面積算成正確值的 4 倍。另須注意，πd²÷2 也不是正確公式。 選錯分割圖形：本推導的關鍵是由圓心向外等分形成扇形，才能保留半徑與圓弧的對應。弓形不含半徑，梯形、正方形無法無縫分割圓，都不是這項剪拼活動使用的分割單位。 宣稱有限次剪拼就得到精確長方形：有限個扇形仍有弧形邊界，應說「近似長方形」「分割越細越接近」，不能把近似圖形說成精確長方形。 把拼圖的長當成整個圓周：上下兩側各占一半圓周，因此長對應 C÷2，若直接使用 C，面積會多算一倍。 只求出半徑就作答，或保留零解：周長與面積數值相等時，r＝2 是半徑，題目問直徑要答 4；若因式分解得到零解，也須依圓的半徑、直徑皆為正排除。選項中出現 π 屬干擾項，π 會在等式兩邊約掉，不會出現在答案中。 記憶口訣 「周長看一次，面積看平方；扇形交錯拼，半周乘半徑。」 「直徑先折半，平方再乘 π；價格隨面積，倍數要平方。」 「周長等面積，半徑 2、直徑 4。」