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學習重點 掌握概念形成的目的：讓學生比較多個同類圖形，找出共同特徵並依關鍵屬性分類，而不是只憑整體外觀辨認。 理解多個且大小不同的必要性：改變大小這類非關鍵屬性，可以幫助學生排除無關線索，知道同類圖形可以有不同樣貌。 準備具有代表性的三角形：兼顧邊長關係、角的種類、大小及擺放方向，避免學生只認得正放的正三角形。 掌握申論作答結構：先寫教具如何變化，再寫保留哪些共同屬性，最後寫如何幫助學生形成與應用圖形概念。 核心觀念 一、圖形分類：區分關鍵屬性與非關鍵屬性 關鍵屬性是決定圖形屬於哪一類的必要特徵。非關鍵屬性是改變之後也不影響圖形類別的特徵。分類教學要讓學生知道「哪些一定要有」，也知道「哪些可以不同」。 圖形辨認的關鍵屬性可變動而不影響類別的屬性 圓圓周上各點到圓心的距離相等。大小、顏色、所在位置。 正方形四條邊等長，四個角都是直角。大小、顏色、位置、旋轉方向。 長方形有四條邊，四個角都是直角。大小、顏色、位置、旋轉方向，以及長寬比例。 三角形三條線段首尾相接，圍成封閉圖形，有三條邊和三個角。大小、顏色、位置、擺放方向，以及合乎三角形條件的邊長與角度組合。 例如，正方形旋轉後仍有四條等長的邊和四個直角，所以仍是正方形。三角形即使尖端朝下或外形狹長，也仍是三角形。分類依據是幾何性質，不是看起來像不像課本上的標準圖樣。 低年級學生多半停留在以視覺整體外觀辨認圖形的階段，看到少數固定樣式的圖例後，常把圖例的大小、方向當成判斷依據。所以教具設計要刻意讓非關鍵屬性產生變化，引導學生把注意力轉到邊、角等性質上。 依數學定義，正方形也符合長方形的條件，是特殊的長方形。如果活動把兩者分開擺放，教師應說明這次活動的分類約定，以免學生誤以為長方形一定要有兩條較長、兩條較短的邊。 二、為何每種圖形都要準備多個，而且大小不同？ 多個實例提供比較與歸納的材料，大小不同則用來排除「大小」這項非關鍵屬性的干擾。學生如果只看過一個圖形，容易把它的大小、顏色或擺放方式也當成定義的一部分，形成過度狹窄的概念，例如以為「只有這麼大的才叫正方形」。 教師呈現大小不同的同類圖形，讓學生比較「哪些地方改變了、哪些地方仍相同」。學生就會發現大小雖然改變，決定類別的共同屬性仍然保留。例如，小三角形和大三角形都由三條線段圍成；小正方形和大正方形都有四邊等長、四角為直角的性質。 這樣安排教具，能幫助學生抽取共同的關鍵屬性、形成圖形概念，並把概念推廣到沒看過的新實例。因此申論不能只寫「增加教具數量」「方便操作」或「提高興趣」，一定要說明大小變異和概念形成之間的關係。 可用的作答表述：準備多個且大小不同的同類圖形，可以讓學生透過比較，了解大小不是決定圖形類別的關鍵屬性，進而歸納同類圖形共有的關鍵屬性。這樣學生不會受單一圖例限制，能形成可以推廣的圖形概念。 三、三角形教具應涵蓋哪些不同特性？ 三角形的外形變化很大，教具不能只準備大小不同的正三角形。應從邊長關係、角的種類，以及呈現方式三方面安排多樣實例。 變異面向應準備的實例教學目的 邊長關係正三角形、等腰三角形、不等邊三角形。讓學生知道三角形不必三邊等長，也不必左右對稱。 角的種類銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。讓學生知道三角形可以有直角或鈍角，不是只有三個角都是銳角的外形。 大小與外形比例大小不同的三角形，以及較狹長、較寬扁的三角形。排除大小和熟悉輪廓的干擾，擴大學生能辨認的實例範圍。 擺放方向尖端朝上、朝下、朝側面，以及不同旋轉角度的三角形。避免學生把「底邊必須水平」「尖端必須朝上」當成必要條件。 依角分類：銳角三角形的三個角都是銳角，直角三角形有一個直角，鈍角三角形有一個鈍角。依邊分類：正三角形三邊等長，等腰三角形至少兩邊等長，不等邊三角形三邊互不相等。採「至少兩邊等長」的定義時，正三角形也是特殊的等腰三角形。 兩種分類面向可以交叉描述同一個圖形。例如，等腰三角形可以是銳角、直角或鈍角三角形，像等腰直角三角形就同時屬於兩種分類。正三角形的三個角都是六十度，所以一定是銳角三角形，不可能是直角或鈍角三角形。準備教具時要涵蓋合理的類型，不能把每種邊長類型和每種角類型任意組合。 可用的作答表述：應準備邊長關係不同的正三角形、等腰三角形與不等邊三角形，以及角的種類不同的銳角、直角與鈍角三角形，並變換大小、外形比例及擺放方向。這樣能讓學生掌握「三條線段圍成封閉圖形」這個共同特徵。 四、變式例示的操作原則 變式例示的意思是保留目標概念的關鍵屬性，同時改變非關鍵屬性。初步教學可以先比較大小不同的同類圖形，再逐步加入方向、比例等變化，讓學生清楚察覺分類依據。 也可以搭配非例比較，例如用沒有封閉的三條線段、含曲線的圖樣，或四邊形和三角形對照，請學生說明這些為什麼不是三角形。非例的作用是凸顯概念的界線，不能把它們混入正例，說成都是三角形。 常考陷阱 只寫「讓學生知道圖形有大有小」：這只描述了表面差異，沒有交代教學目的。應補上「排除大小的干擾，歸納共同關鍵屬性，形成概念」。 把多個實例解釋成反覆記憶同一外形：如果教具完全相同，學生就沒有機會辨認變異。重點是透過不同實例形成概念。 準備三角形時只考慮大小或顏色：這樣沒有涵蓋三角形本身的重要外形變化。作答時應先列出依邊、依角的類型，再補充方向與大小。 認為倒放、斜放或狹長的圖形不是三角形：方向和比例不是三角形的分類依據，應檢查它是否由三條線段圍成封閉圖形。 把旋轉四十五度的正方形當成另一種圖形：學生常因為擺放方向改變就改口稱呼它。應回到四邊等長、四角為直角的性質來判斷。 把邊長與角度說成「永遠不重要」：就「是不是三角形」而言，邊長和角度可以不同；但分類正三角形、直角三角形等子類時，這些條件就是關鍵屬性。某項屬性是否關鍵，要看目標概念而定。 為了求變化而破壞圖形條件：有缺口、有曲邊，或三點共線形成的圖樣，不能當作三角形正例。變式必須保留定義的要求。 記憶口訣 「多例找共同，變大小排干擾；三角看邊角，方向也要換。」 申論時依序寫出「如何變化 → 排除哪些非關鍵屬性 → 掌握哪些共同特徵 → 形成並推廣概念」，就能完整交代教具準備的理由。