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學習重點 熟記平移規則：向右、向上分別增加橫坐標與縱坐標；向左、向下則分別減少。 兩點平移後重合，代表平移後的橫坐標相等、縱坐標也相等，可建立二元一次聯立方程式；解出未知數後，還要代回平移後的坐標才是所求的點。 掌握純量乘法的兩個面向：長度乘以純量的絕對值，方向則由純量的正負決定；判斷結果時，先認清是哪一個量的倍數，再確認係數。 利用平行四邊形對角線互相平分（對角頂點坐標和相等）求未知頂點，關鍵是決定哪兩點互為對角。 題目問「可能是」第四頂點時，要把三種配置的候選點都算出來，再與選項比對。 核心觀念 一、坐標平移：把移動量直接加到坐標上 點的位置以有序數對表示，第一個數是橫坐標，第二個數是縱坐標。設點為 P(u, v)，水平移動只改變 u，鉛直移動只改變 v。 移動方式平移後的坐標判斷關鍵 向右 a 個單位(u＋a, v)橫坐標增加 向左 a 個單位(u－a, v)橫坐標減少 向上 b 個單位(u, v＋b)縱坐標增加 向下 b 個單位(u, v－b)縱坐標減少 表中的 a、b 均為正數。若同時向右 a、向上 b，結果為 (u＋a, v＋b)。先水平再鉛直，或先鉛直再水平，終點相同；也可把多次移動合併成一個總位移。 坐標含有未知數時，平移量仍是加在整個坐標式外面。例如橫坐標為 2x＋y－3，向右移動 4 個單位後為 2x＋y＋1，不能把式內的 x 改成 x＋4。 二、平移後重合：分別比較兩個坐標 設 P(u₁, v₁) 經位移 (a, b)，Q(u₂, v₂) 經位移 (c, d)，最後重合於 R，則： u₁＋a＝u₂＋cv₁＋b＝v₂＋d 這兩個等式必須同時成立。若原坐標含 x、y，便可解聯立方程式，再將解代入任一個平移後的坐標式，求得 R。 先寫出兩點平移後的完整坐標，避免憑直覺移項。 令橫坐標相等、縱坐標相等，整理成兩條方程式。 利用代入法或加減消去法求出未知數。 將未知數代回平移後的坐標，並用另一點的移動結果驗算。 示範：P(2x＋y－3, 3x－2y＋5) 向右 4、向上 3 後為 (2x＋y＋1, 3x－2y＋8)；Q(x－3y＋7, 2x＋5y＋27) 向左 4、向下 6 後為 (x－3y＋3, 2x＋5y＋21)。 令橫坐標相等：2x＋y＋1＝x－3y＋3，得 x＋4y＝2。令縱坐標相等：3x－2y＋8＝2x＋5y＋21，得 x－7y＝13。兩式相減得 11y＝－11，y＝－1，x＝6。 代回 P 平移後的坐標：(12－1＋1, 18＋2＋8)＝(12, 28)；用 Q 驗算：(6＋3＋3, 12－5＋21)＝(12, 28)，一致。注意 (6, －1) 只是 x、y 的值，不是 R 點。 也可先用相對位置檢查正負號：若 P 向右 4、Q 向左 4 後重合，原本 Q 的橫坐標應比 P 大 8；若 P 向上 3、Q 向下 6 後重合，原本 Q 的縱坐標應比 P 大 9。這能快速檢查列式是否合理。 三、向量模長與純量乘法 向量同時具有大小與方向；向量的模長就是其長度。設向量為 a，純量為實數 k，則： |ka|＝|k|・|a|。 純量 k 的情況長度變化方向變化 k＞0變成原長的 k 倍與原非零向量同向 k＜0變成原長的 |k| 倍與原非零向量反向 k＝0長度為 0得到零向量，無確定方向 例如 0.1a 的長度是 a 的十分之一，0.01a 的長度是百分之一；－0.1a 與 0.1a 等長，但方向相反。若以分量表示 a＝(s, t)，則 ka＝(ks, kt)，兩個分量都要乘上 k。 純量連乘時，係數先相乘。例如 0.1(0.1a)＝0.01a；但若式中同時出現向量與模長，必須先辨認運算對象。|a| 是數，a 是向量，不能任意互換。 四、判斷「是誰的幾倍」：先找底，再找係數 選項寫成 0.1a、0.1b、0.01a、0.01b 這類形式時，要分兩步判斷： 先決定基準量：把所求的式子改寫，看它和 a 的定義相同，還是和 b 的定義相同（只差一個 10 的次方倍）。 再決定係數：把多出來的 10 的次方提出來，算出是 0.1 倍還是 0.01 倍。 若涉及長度（模長）或平方根，要特別注意：長度與平方根的關係是「內部縮小 100 倍，結果只縮小 10 倍」。例如 √0.2＝√(20÷100)＝√20÷10＝0.1×√20，結果是 √20 的 0.1 倍，而不是 √2 的倍數。小數點在根號內移兩位，根號外只移一位。 五、平行四邊形：先找對角，再用中點 平行四邊形的兩條對角線互相平分，因此互為對角的兩頂點，坐標和相等。若 A、B、C、D 依序沿周界排列，則 A 與 C 互為對角，B 與 D 互為對角： (A＋C)÷2＝(B＋D)÷2A＋C＝B＋D，故 D＝A＋C－B。 上述點的加減代表橫坐標、縱坐標分別運算。若 A(a₁, a₂)、B(b₁, b₂)、C(c₁, c₂)，則 D＝(a₁＋c₁－b₁, a₂＋c₂－b₂)。也可由向量 AD＝向量 BC，寫成 D－A＝C－B，得到相同結果。 題目問「可能是」哪一點時，三個不共線的已知點中，任一點都可能與 D 互為對角，因此第四頂點有三個候選位置： 與 D 互為對角的點第四頂點對角頂點的和相等 AD＝B＋C－AA＋D＝B＋C BD＝A＋C－BB＋D＝A＋C CD＝A＋B－CC＋D＝A＋B 示範：A(5, 4)、B(－2, 3)、C(3, －1)： B＋C－A＝(－2＋3－5, 3－1－4)＝(－4, －2) A＋C－B＝(5＋3＋2, 4－1－3)＝(10, 0) A＋B－C＝(5－2－3, 4＋3＋1)＝(0, 8) 三點都是可能的第四頂點，作答時把三個候選點與選項逐一比對即可；只要坐標中有一個數字不同（如 (0, 10)、(4, 2)）就不是候選點。若嚴格依 A→B→C→D 的順序命名，第四頂點是 (10, 0)；但此類考題公布的標準答案為 (－4, －2)，即採 A 與 D 互為對角、D＝B＋C－A 的配置。考場上遇到選項同時含多個候選點時，應以題目公布的配置為準，並記得此類題目存在爭議。 常考陷阱 把左右與上下混用：向右只增加橫坐標，向上只增加縱坐標；原坐標為負數時仍照規則加減。 只令一個坐標相等：橫坐標相同只表示位在同一條鉛直線上，還須縱坐標相同才是同一點。 把參數解當成終點：解出的 (x, y) 常被故意放進選項。求得 x、y 後，仍須代回平移後的坐標式。 漏做平移：代回原式得到的是原來的位置，還要加上該點的位移；用兩點分別驗算最保險。 模長跟著負號變負：長度不會是負數。負純量表示反向，長度仍乘以其絕對值。 混淆 0.1 與 0.01：在根號或長度的情境下，內部縮小 100 倍，結果只縮小 10 倍；不要直接把 0.01 照搬到答案。 選錯基準量：a 與 b 常只差 10 倍（如 √2 與 √20），先判斷所求式子與哪一個「數字部分」相同，再談係數。 第四頂點只算一種：「可能是」的題目要列出三個候選點；算錯一個加減號，就容易誤選只差一個數字的干擾選項。 記憶口訣 平移：右加左減看橫軸，上加下減看縱軸；解完參數要代回。 向量：長度乘絕對值，正同負反零無向。 根號倍數：根內移兩位，根外移一位。 平行四邊形：對角相加必相等；問「可能」就列三式。