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學習重點 熟記簡單多邊形的內角和公式：n 邊形內角和＝(n－2)×180°，並能由內角和反求邊數。 遇到內角和「超過」某數值，先列不等式，再配合邊數必須是大於或等於 3 的整數判斷。 遇到「一個角特殊，其餘角相同」，用特殊角＋其餘角的總和＝內角和建立方程式。 理解從頂點與從內部點分割的差別：從頂點分成 n－2 個三角形；從內部點分成 n 個三角形時，須扣除該點的周角 360°。 能逐一判斷不同學童的分割解法是否正確，關鍵在於三角形的角是否「恰好」等於多邊形內角。 核心觀念 一、多邊形內角和：邊數決定總角度 本單元所用的多邊形，是邊界不自相交的簡單多邊形。設邊數為 n，內角和為 S，則S＝(n－2)×180°。公式不要求各邊等長，也不要求各角相等；只要邊數相同，內角和就相同。 反過來，若已知內角和，可整理成n＝S÷180°＋2。所得邊數必須是大於或等於 3 的整數，不能將小數四捨五入後當成答案。 邊數 n可分成的三角形數 n－2內角和 31180° 42360° 53540° 64720° 75900° 861080° 971260° 由表可見，每增加一邊，內角和就增加 180°。這個規律可用來快速估算，也可檢查計算結果是否合理。 二、內角和超過指定角度：列不等式判斷 題目若說內角和「超過」某個角度，表示嚴格大於，不包含相等。例如內角和超過 1000°，可列成： (n－2)×180°＞1000°n－2＞50／9n＞68／9＝7 又 5／9 因為 n 是整數，所以至少要有 8 邊。也可利用相鄰邊數檢核：七邊形內角和為 900°，未超過 1000°；八邊形為 1080°，已符合條件。因此四邊形（360°）、五邊形（540°）、七邊形（900°）都不符合，只有 8 邊以上才可能。 判斷選項時，要區分「可能的邊數」與「最少的邊數」。符合上述條件的邊數為所有大於或等於 8 的整數；若問最少邊數，才只回答 8。 三、一個特殊角、其餘角相同：數清楚有幾個角 n 邊形共有 n 個內角。若其中一角為 a°，其餘各角均為 b°，則其餘角共有n－1 個，因此應列： a°＋(n－1)×b°＝(n－2)×180° 例如，一角為 90°，其餘各角均為 135°，則： 90＋135(n－1)＝180(n－2)135n－45＝180n－360315＝45nn＝7 求得邊數後，應代回檢查：一個 90° 加上六個 135°，總和為 90°＋810°＝900°；七邊形內角和也為 (7－2)×180°＝900°，兩者一致。 此類題目不能直接使用正多邊形的每一內角公式，將某一角當成全部內角，因為題目已指出有一個角與其餘角不同。例如正八邊形每一內角恰為 135°，但本題有一角是 90°，所以不是八邊形。 也可用凸多邊形的外角和檢核（各內角皆小於 180°，故為凸多邊形）。每個外角取與內角相鄰的角，90° 內角對應 90° 外角，135° 內角對應 45° 外角，因此 90°＋45°×(n－1)＝360°，45°×(n－1)＝270°，同樣得到 n＝7。 四、從一個頂點分割：為什麼是 n－2 個三角形？ 對凸 n 邊形，選定一個頂點，連接所有不相鄰的頂點，可畫出n－3 條對角線，將多邊形分成n－2 個三角形。各三角形不重疊，且恰好填滿原多邊形。 這些三角形的角，在多邊形各頂點處合起來，恰好就是原本的各個內角，沒有多出其他角，因此內角和為 (n－2)×180°。以八邊形為例，從一個頂點可畫出 5 條對角線，形成 6 個三角形，內角和為6×180°＝1080°，這種解法正確。 要注意，從任一頂點連線都能在圖形內完成上述分割，是凸多邊形的性質。凹多邊形雖然仍適用內角和公式，但不能任選頂點後，就認定所有連線都在圖形內；須採用適當的三角形分割。 五、從內部一點分割：為什麼要扣掉 360°？ 在凸 n 邊形內取一點，分別連接各頂點，可形成 n 個三角形。這些三角形的內角總和為 n×180°，但其中除了多邊形各頂點的內角，還包含內部點周圍的一整圈角。 內部點周圍的角合計為 360°，不屬於多邊形的內角，因此： 多邊形內角和＝n×180°－360°＝(n－2)×180° 以八邊形為例，8 個三角形的內角總和為 1440°，扣除內部點的周角後，得到 1440°－360°＝1080°。所以： 只寫「180×8」就當作內角和：錯誤，多算了內部點的 360°。 寫「180×8＝1440，再減去 360」：正確。 因此，從頂點分割與從內部點（再扣周角）分割，都可以正確求出內角和，關鍵在於是否計入了額外的角。 分割方式三角形數是否須扣除額外角度八邊形算式 從凸多邊形的一個頂點連線n－2 個不須扣除180°×6＝1080° 從凸多邊形內部一點連向所有頂點n 個須扣除內部點周角 360°180°×8－360°＝1080° 常考陷阱 把公式寫成 n×180°：邊數不等於由一個頂點分割出的三角形數。內角和應為 (n－2)×180°。 看到「超過」卻使用大於或等於：超過表示＞；至少才表示≥。先辨認文字，再列式。 誤選七邊形：n＞7 又 5／9，七邊形內角和只有 900°，未超過 1000°。 以為超過 1000° 就只有八邊形：八邊形是最少符合的邊數，更大的邊數也符合。應依題目問法與選項判斷。 看到 135° 就選八邊形：135° 是正八邊形的每一內角，但題目有一角為 90°，不是全部 135°，要列方程式求解，答案為七邊形。 把其餘角算成 n 個或 n－2 個：總共有 n 個角，扣除一個特殊角後，其餘必為 n－1 個。 混淆對角線數與三角形數：從凸 n 邊形的一個頂點畫出 n－3 條對角線，形成的是 n－2 個三角形。 內部分成 8 個三角形，就直接回答 1440°：1440° 包含內部點的一整圈角，須再減去 360°。 以為只有一種分割方法正確：頂點分割（180×6）與內部點分割再扣 360°（1440－360）都正確，判斷選項時要逐一檢查每種說法。 誤認內部點必須位於正中央：分割成立且三角形不重疊、完整覆蓋多邊形時，內部點不必是中心；其周圍的角總和仍為 360°。 只看三角形數，不檢查角的歸屬：判斷解法是否正確，要看各三角形的角加總後，是否恰好等於多邊形內角，或多算了額外角度。 記憶口訣 「邊數減二乘一八，增加一邊加一八。」內角和為 (n－2)×180°，每增加一邊就增加 180°。 「頂點分割減二個，內點分割扣一圈。」從頂點分成 n－2 個三角形；從內點分成 n 個三角形，須扣除 360°。 「一角特殊先獨立，其餘角數總減一。」先把特殊角單獨列出，再用 n－1 計算其餘角的總和。