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學習重點 掌握多項式除法的基本關係：被除式＝除式×商式＋餘式，並確認餘式的次數小於除式的次數。 熟悉長除法「首項相除、乘回、整列相減、降項續除」的步驟，能由算式中各列的已知條件反推未知係數。 分清楚多項式除法的商式與含分式的相除結果，尤其注意除式含負號時的符號運算。 利用因式定理，把「含有一次因式」轉成「代入對應根後等於零」，建立未知係數的方程式。 核心觀念 一、多項式除法的基本架構 設被除式為 P(x)、除式為 D(x)、商式為 Q(x)、餘式為 R(x)，其中 D(x) 不是零多項式，則： P(x)＝D(x)Q(x)＋R(x)。 除法完成時，餘式必須是零多項式，或其次數嚴格小於除式的次數。例如除式是一次多項式，非零餘式只能是常數；若剩下的式子仍含有 x 項，就還沒有除完。 若被除式的次數不小於除式的次數，則商式次數＝被除式次數－除式次數。這項關係可以先判斷商式應有的形式，也能協助檢查是否漏寫最高次項。 二、長除法：先對齊次方，再逐步消去首項 降冪排列：把被除式與除式依 x 的次方由高到低排列。缺少某次方時，以係數 0 補位，例如 x³＋2x－1 可視為 x³＋0x²＋2x－1。 首項相除：用目前被除部分的最高次項，除以除式的最高次項，得到商式的下一項。 乘回除式：將剛求出的商項乘上整個除式，並把同次方項對齊。 整列相減：用上列減去乘回的整列，注意括號內每一項都要跟著變號。 降項續除：降下尚未處理的項，重複上述步驟，直到剩餘式的次數低於除式。 長除法的目的，是逐次消去目前剩餘式的最高次項。因此每次相減後，最高次項應消失；若沒有消失，通常表示商項、乘法或減法符號有誤。 三、由長除法反推未知係數 遇到算式中藏有 a、b、c 等未知數，不必只按圖形位置猜數字。先辨認除式、被除式、商式、乘回列與餘式，再利用各列的乘減關係建立等式。長除法的每一列都有固定意義： 乘回列＝該次商項×整個除式，所以乘回列的係數可由商項與除式求出，反之亦可由乘回列求商項或除式。 相減後的列＝上一列－乘回列，同次方係數逐項相減。 最後一列就是餘式，其次數低於除式。 例：以 2x＋3 除 ax²＋bx＋c，得商式 3x－1、餘式 5，依長除法逐列推算： 商的首項 3x 乘回除式：3x(2x＋3)＝6x²＋9x，首項必須消去，故 a＝6。 相減後剩 (b－9)x＋c；下一個商項－1 乘回除式得－2x－3，故 b－9＝－2，b＝7。 再相減：c－(－3)＝c＋3＝5，故 c＝2。 最通用的做法，是將已知資訊寫成 P(x)＝D(x)Q(x)＋R(x)，展開右側後，按照相同次方比較係數。例如： (ux＋v)(mx＋n)＋r＝umx²＋(un＋vm)x＋vn＋r。 若被除式為 Ax²＋Bx＋C，就必須同時滿足： x² 項係數：A＝um。 x 項係數：B＝un＋vm。 常數項：C＝vn＋r。 以上例驗算：(2x＋3)(3x－1)＋5＝6x²＋7x＋2，與 a＝6、b＝7、c＝2 一致。題目若規定未知數為整數，可用整數條件排除不合的結果，但仍須符合全部係數關係。求出各未知數後，再計算題目要求的和；最後以「除式×商式＋餘式」還原被除式，檢查最可靠。 四、除以一次單項式：商式與餘式分開寫 除式若為 kx，其中 k≠0，便以各項除以 kx。含有 x 的項可以降低一次；常數項若非零，則留作餘式。以一般形式表示： Ax²＋Bx＋C＝(kx)[(A/k)x＋B/k]＋C。 因此商式是 (A/k)x＋B/k，餘式是 C。係數可以是分數；分數係數不會讓一個式子失去多項式的資格。 例如以 3x²－2x＋4 除以－3x，商式為－x＋2/3，餘式為 4。因為 (－3x)(－x＋2/3)＋4＝3x²－2x＋4，符合除法基本關係。 題目問法應呈現的內容判斷關鍵 求商式只寫 Q(x)不把餘式除以除式後併入商式 求餘式只寫 R(x)次數必須低於除式 將相除結果寫成分式形式Q(x)＋R(x)/D(x)須有 D(x)≠0；其中分式部分不是多項式商式的一部分 特別注意：除以－2x 時，正的二次項會得到負的一次項，正的一次項會得到負的常數。常數項無法再產生多項式商項，就保留為餘式；不可因為除式帶負號，就直接把餘式變號。 五、因式定理：一次因式對應一個根 對多項式 P(x)，x－r 是 P(x) 的因式，若且唯若 P(r)＝0。也就是說，若某一次式能整除 P(x)，將該一次式等於零所得到的根代入 P(x)，結果必為零。 已知一次因式令因式等於零應代入的值 x－rx－r＝0x＝r x＋rx＋r＝0x＝－r mx＋n，m≠0mx＋n＝0x＝－n/m 若 P(x) 含有未知常數，便依序完成「找根、代入、令值為零、解方程式」。例如 x＋1 是 x²－2x＋k 的因式，則代入 x＝－1，得到 1＋2＋k＝0，所以 k＝－3。 因式定理也可由除法關係理解：以 x－r 除 P(x) 時，餘式是常數 c，故 P(x)＝(x－r)Q(x)＋c。代入 x＝r 得 P(r)＝c；因此代入值就是餘式，代入值為零才表示整除。 常考陷阱 把因式中的符號直接當成根：看到 x＋2 就代入 2，是常見錯法。應先解 x＋2＝0，所以要代入－2。 負數平方漏掉括號：代入－2 時，x² 應算成 (－2)²＝4；－3x 則成為－3×(－2)＝6。 把分式項當成商式：選項若把常數項除以 kx 後得到的含 x 分母項併入商式，便混淆了相除結果與多項式商式。 以為商式係數一定是整數：即使原多項式的係數都是整數，商式仍可能出現 1/2、－3/2 等分數係數，不能因此排除。 除式有負號，卻只改部分商項的符號：每一個商項都要各自進行正負號判斷，不能只處理最高次項。 整列相減時漏變號：減去 ux＋v，等於加上－ux－v；若原列含負項，相減後反而可能變成正項。 反推係數時只看單一列：由長除法圖形求未知數，乘回列與相減列要一起對照；只憑位置猜數字，容易把乘回列的係數誤當成被除式的係數。 餘式次數與除式相同仍停止：一次除式遇到含 x 的剩餘式，必須繼續除；常數餘式即使數值很大，也不影響停止條件。 誤把未知常數當成未知數的係數：式末的「＋a」表示常數項直接加 a，代入 x 時不需再乘上代入值。 記憶口訣 長除法：「降冪補零，首項相除；乘回整減，降項續除。」 驗算：「除乘商，加上餘，還原被除式。」 因式定理：「因式先歸零，求根再代入；代入值為零，才能稱因式。」