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學習重點 掌握線對稱的判準：沿對稱軸摺疊後，軸兩側的圖形能完全重合；一組對稱點到對稱軸的距離相等。 知道圓有無限多條對稱軸，每條對稱軸都是通過圓心的直線，並能判斷圓上點的對稱位置。 區分圓形與多邊形的線對稱概念：國小教材談圓形的線對稱，只討論對稱軸、對稱點，不以對稱邊、對稱角描述圓形。 運用反射法處理最短路徑：把直線同側的一點反射到另一側，再連接另一個原點，連線與指定直線的交點就是最佳位置。 用「對稱保持距離」與「兩點之間直線段最短」說明理由，不要把等距條件誤認為距離和最小。 核心觀念 一、線對稱的基本判準 一個圖形沿某條直線摺疊後，如果兩側能完全重合，這個圖形就是線對稱圖形，這條直線稱為對稱軸。摺疊後互相重合的兩點，稱為一組對稱點。 設 A 與 A′ 關於直線 ℓ 對稱。當 A 不在 ℓ 上時，ℓ 是線段 AA′ 的中垂線，所以 AA′ 垂直於 ℓ，而且 A、A′ 到 ℓ 的距離相等。如果點本來就在對稱軸上，反射後仍是原來的點。 對稱軸上的任一點，到一組對稱點的距離相等。也就是說，只要 F 在 ℓ 上，就有 FA＝FA′。把折線路徑轉換成直線路徑，靠的就是這個性質。 二、圓形的對稱軸與對稱點 圓的每一條通過圓心的直線都是對稱軸。沿這樣的直線摺疊，兩側的半圓能完全重合。通過圓心的直線有無限多條，所以圓有無限多條對稱軸。 反過來說，圓的對稱軸一定通過圓心。不通過圓心的直線即使與圓相交，也不能把圓摺成完全重合的兩部分，所以不是對稱軸。 指定一條通過圓心的對稱軸後，圓上的點反射後仍在同一個圓上。如果該點不在軸上，它和它的對稱點分別位於軸的兩側；如果該點剛好是軸與圓的交點，反射後位置不變。 要注意，對稱點取決於指定的對稱軸。圓上同一點選擇不同的對稱軸，通常會得到不同的對稱點，所以它的對稱點不一定是直徑另一端。 概念圓形是否適用判斷重點 對稱軸適用每條通過圓心的直線都是，共有無限多條。 對稱點適用指定對稱軸後，可找出摺疊後重合的點。 對稱邊不作此討論圓沒有多邊形那種由頂點連成的邊。 對稱角不作此討論圓沒有多邊形那種由相鄰兩邊形成的角。 國小教材談圓形的線對稱時，要掌握的是對稱軸與對稱點。圓周雖然是圖形的邊界，但它是曲線，不能把多邊形的「對稱邊、對稱角」概念直接套用到圓形。 相對地，多邊形的線對稱（例如等腰三角形、長方形、正方形）四個概念都能討論：有對稱軸，頂點有對稱點，邊有對稱邊，角有對稱角。 三、同側兩點經定直線的最短路徑 設 A、B 位於直線 ℓ 的同一側，要在 ℓ 上找一點 F，使 AF＋BF 最小。因為 F 一定要在指定直線上，不能直接把線段 AB 的長度當成答案；應先用線對稱把其中一段距離換成等長的另一段。 反射一點：以 ℓ 為對稱軸，作出 A 的對稱點 A′。 連接異側兩點：連接 A′ 與原來的 B，線段 A′B 與 ℓ 相交於 F。 說明距離不變：因為 F 在對稱軸上，AF＝A′F，所以 AF＋BF＝A′F＋BF。 套用最短性質：對 ℓ 上任一點 P，都有 A′P＋PB ≥ A′B，只有當 P 落在線段 A′B 上時等號才成立。所以這個交點 F 使距離和最小。 這個方法把「A 到 F 再到 B」的折線，經由反射轉換成「A′ 到 F 再到 B」。當 A′、F、B 三點共線時，轉換後的路徑就是一條直線段，長度最短。 反射 B 也同樣正確。以 ℓ 為對稱軸作 B 的對稱點 B′，再連接原來的 A 與 B′，連線與 ℓ 的交點就是同一個最佳位置。兩種方法分別利用 AF＝A′F 或 BF＝B′F，推理完全相同，因此「反射 A 連 A′B」和「反射 B 連 AB′」都是正確作法。 在直線河岸蓋碼頭的情境中，廠房是固定點，河岸是指定直線，碼頭是直線上可以移動的點。看到「同側兩點」「要經過岸上一點」「兩段距離和最短」，就可以判斷要用反射法。 常考陷阱 一、把畫出的直徑數量當作對稱軸數量 圖上只畫一條或兩條直徑，不代表圓只有一條或兩條對稱軸，更不是 0 條。應該依圓本身的性質判斷：通過圓心的直線可以朝任意方向，所以對稱軸有無限多條。嚴格來說，直徑是線段，對稱軸是直徑所在的直線。 二、認為線對稱圖形一定都有對稱邊、對稱角 「具有線對稱性」不代表描述多邊形的名詞都適用。遇到圓形的概念組合選項時，先檢查圓有沒有多邊形的邊與角。圓只適用「對稱軸、對稱點」；不能因為圓摺得起來，就把對稱邊、對稱角也一起選進去。 三、以等距取代距離和最小 線段 AB 中垂線上的點滿足 FA＝FB，但題目要的是FA＋FB 最小，這是兩個不同的條件。中垂線與河岸的交點一般不是最短位置，只有在特殊配置下才可能剛好重合，不能當作通用作法。 四、直接連接同側兩點，或反射後連錯點 A、B 都在直線同一側時，線段 AB 不會穿過這條直線，所以「找 AB 與河岸的交點」這個作法不成立。正確作法是反射其中一點，再連接它的對稱點與另一個原點：反射 A 就連 A′B，反射 B 就連 AB′。如果連成 AA′ 或 BB′，只會得到垂足，不是所求的點。 五、以為只有一種反射方式正確 選項同時列出「反射 A」與「反射 B」兩種作法時，兩者都正確，而且找到的是同一點。不要只選其中一個。 六、只記作圖，漏掉等號成立條件 使用「兩點間直線段最短」時，除了 A′、F、B 共線，F 還必須位於 A′ 與 B 之間，才有 A′F＋FB＝A′B。同側兩點反射其中一點後，兩個端點分別在直線兩側，連接的線段一定會穿過河岸，所以交點自然符合這個條件。 記憶口訣 圓軸過圓心，方向無限多；有軸有對點，邊角莫套用。 同側求最短，映一點、連另一點，交岸定位置；映 A 映 B 都可以。 等距看中垂，和短用反射。