工作效率、人數與時間

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握「工作量＝工作速率×時間」，能依題意判斷已知量與未知量。 辨認人數與時間成反比的條件，利用「人數×時間不變」求解。 區分工作量比、工作時間比與工作效率比，並統一連比中的共同人物。 正確列出含未知數的時間算式，配合分鐘、秒的單位換算。 能診斷將反比誤用為正比的錯誤，並設計具體圖像表徵協助學生理解。 核心觀念 一、工作量、工作速率與時間的基本關係 處理工作問題，先辨認三個量：工作量是要完成的總數或整項任務；工作速率是單位時間能完成的工作量，也常稱工作效率；時間是實際工作的長度。 工作量＝工作速率×時間工作速率＝工作量÷時間時間＝工作量÷工作速率 工作量可以用張、個等數量表示，也可以把一整項工程設為「1」。例如一人獨做某工程需用 a 天，其工作速率就是每天完成整項工程的 1/a。多人合作且工作量可以相加時，先加總各人的工作速率，再用總工作量除以合計速率。 二、固定工作量下，人數與時間成反比 若工作總量固定、每人工作效率相同，且合作效率可直接相加，人數增加為原來的幾倍，完成時間就縮短為原來的幾分之一。因此，人數與所需時間成反比。 設每人每天完成的工作量為 r，n 人工作 t 天，則總工作量＝r×n×t。當總工作量與 r 都固定時，可得：n×t＝固定值，也就是「原人數×原時間＝新人數×新時間」。 例如某工作由 4 人合作需 18 小時，總共需要 4×18＝72 人時；改由 6 人合作，所需時間為 72÷6＝12 小時。「人時」表示一人工作一小時所提供的工作量；以天計算時，可使用「人天」。 固定條件比較的兩個量關係與判斷 每人效率、工作時間固定人數與完成工作量成正比；人越多，完成越多 總工作量、每人效率固定人數與完成時間成反比；人越多，時間越短 總工作量固定工作速率與完成時間成反比；速率越大，時間越短 解題時可先作方向判斷：同一項工作增加人手，答案應比原時間短。人數加倍，時間應減半；人數變成原來的三倍，時間應變成三分之一。若人數變成原來的 8/3 倍，時間就變成原來的 3/8。這能快速檢查算式是否合理，也能直接排除比原時間更長的選項。 三、由工作量或完成時間推算效率比 同時間，比工作量；同工作量，比時間的倒數。這是效率比最重要的判斷原則。 工作時間相同：甲完成 4 個、乙完成 3 個，表示甲、乙效率比為 4：3。 完成工作量相同：甲需 4 分鐘、乙需 3 分鐘，表示甲、乙效率比為 1/4：1/3＝3：4。花的時間越少，效率越高。 「甲做完若干個的時間，乙可以做完若干個」是在比較同一段時間內的產量，因此直接以產量作效率比，不必取倒數。 遇到三人連比，必須先統一兩組比中的共同人物。例如甲：乙＝4：3，乙：丙＝4：5，乙在兩組中分別是 3 份與 4 份，取最小公倍數 12，可得甲：乙＝16：12、乙：丙＝12：15，因此甲：乙：丙＝16：12：15。 若三人同時開始、工作相同時間且效率維持不變，各人完成數量的比就等於效率比。上述比值合計為 16＋12＋15＝43 份，丙完成的數量便是總數×15/43。也可以先用總數除以 43，求出一份的數量，再乘以丙的 15 份。總數通常設計成 43 的倍數，若除不盡，多半代表連比算錯。 只有合送總數，未必能單獨決定各人產量；依效率比分配的關鍵，是題意採用共同工作相同時間的情境。生日日期等敘事資訊，若未提供實際工作時長，就不應自行加入計算。 四、含未知數的列式與時間單位換算 若機器每分鐘輸出 r 張，待處理紙張共有 x 張，則所需時間為x/r 分鐘。若題目要求秒數，應再乘以 60，得到（x/r）×60 秒。 也可以先換算速率：每分鐘 r 張＝每秒 r/60 張，因此所需秒數＝x÷（r/60）＝60x/r。兩種列式的結果相同，選擇較容易掌握的方法即可。 單位能協助檢查算式：「張」除以「張／分鐘」得到「分鐘」。分鐘換成秒，數值乘以 60；秒換成分鐘，數值除以 60。若題目明確從熱機完成後開始計時，就只計算實際輸出時間，不另加熱機時間。 也可代入簡單數字驗證：若 x 恰等於每分鐘張數，應該剛好用 1 分鐘，也就是 60 秒；代入選項後結果是 60 的才正確。 五、反比錯誤的診斷與表徵教學 學生算出人數增加的倍數後，又把原時間乘以同一倍數，錯誤在於將固定工作量下的人數與時間誤認為正比。求出人數倍數這一步可以正確，問題出在把倍數直接套用到時間；人數變 2 倍，時間應變為原來的 1/2，而非 2 倍。 這類錯誤受到先前學過的正比關係或「一量乘幾倍，另一量也乘幾倍」策略的過度類化影響。例如固定單價時，購買數量加倍、總價也加倍；但固定工程增加人手，應縮短完成時間，不能照搬相同策略。 適合的教學方式是使用固定面積方格圖。以 60 個小方格代表整項工作，每格表示一位技師工作一天的工作量： 先排成 6 列、每列 10 格，標明每列代表一位技師，每格代表一天的工作量，表示 6 人各工作 10 天，共完成 60 人天。 保留全部 60 格，重新排成 12 列，讓學生觀察每列只剩 5 格，表示 12 人各工作 5 天即可完成。 引導學生比較：人數加倍，總格數不變，每人負擔減半，所以工作時間也減半。 最後連結符號算式：6×10＝12×t，得到 t＝5，將圖像理解轉為乘積不變的關係。 也可搭配對照表（如 1 人 60 天、2 人 30 天、3 人 20 天、6 人 10 天、12 人 5 天），讓學生發現「人數變大、天數變小，兩者乘積都是 60」；或用具體情境提問「人變多，工程會更快還是更慢完成？」引發認知衝突，讓學生自己察覺 20 天不合理。 申論作答應交代表徵如何安排、各部分代表什麼、如何引導學生理解反比。只寫「用畫圖教學」或只提供正確算式，尚未完整呈現釐清錯誤的教學過程。 常考陷阱 人數增加，時間也同倍增加：這是把反比當成正比。先檢查工作量是否固定，再用人數與時間的乘積不變求解。 反比題用相除後再相乘的錯誤組合：例如以原時間×新人數÷原人數，算出比原時間更長的答案；正確應為原人數×原時間÷新人數。 所有工作問題都套人數×時間：若每人效率不同，不能只加總人數；應先求各自效率，再計算合計工作速率。 看見「時間」就把比倒過來：「同一段時間做幾個」直接比較產量；「做完相同數量各需多久」才把時間比取倒數。 兩組比直接串接：共同人物在兩組比中的份數不同，必須先擴分統一，才能建立三人連比。 分配時只除以人數：效率不同且工作時間相同，應按效率比所占份數分配，不能平均分成三份。 被無關資訊干擾：日期、送禮對象等敘事內容若未提供工作時長，與計算無關。 分鐘換秒卻除以 60：換成較小的時間單位，數值應變大；x/r 是分鐘，必須再乘以 60 才是秒。 以工作量乘工作速率求時間：時間應是工作量除以速率。若單位無法化成分鐘或秒，就要重新檢查。 錯誤診斷只寫「計算錯誤」：應明確指出正、反比關係混淆，並說明既有正比策略被不當套用。 記憶口訣 工作量，率乘時；求時間，量除率。同量人多時間少，人時乘積要守好。同時比量，同量反時；連比先統一，分配看份數。分換秒乘六十，秒換分除六十。