平均數、總量與資料範圍

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握「總量＝平均數×個數」與「平均數＝總量÷個數」，先辨認總量及計算對象，再列式。 資料筆數不變時，平均數改變量＝總和改變量÷資料筆數；修正後總和增加，平均數就增加。 時間資料要先統一單位再求平均；相同距離的賽跑，平均用時越短，平均表現越好。 平均數介於最小值與最大值之間，但不一定等於其中任何一筆，也不一定等於中位數。 利用平均數還原總量，扣除已知部分，再將「小於」「大於」等限制轉成未知量的範圍。 核心觀念 一、平均數是把總量平均分配的結果 算術平均數是將所有資料加總後，除以資料筆數所得的數值。它代表整組資料平均分配後，每一份應有的量，不表示每筆資料原本都相同。 平均數＝資料總和÷資料筆數資料總和＝平均數×資料筆數資料筆數＝資料總和÷平均數（平均數不為零時） 解題時先確認「平均分給誰」，分母才不會放錯。例如求每位老師平均輪值天數，應以老師人數作為分母；求每輛車的平均買價，則以車輛數作為分母。 若每天有多個地點同時需要人力，要先計算整段期間的總輪值人次。例如每天有4個路口、每個路口安排1人，共有90個上課日，總需求為4×90＝360個輪值人次；若由12位老師分擔，每位平均輪值360÷12＝30天。此處按每位老師一天值勤一次計算，不能只把上課日數除以老師人數。 「平均輪值30天」描述平均分配的結果；若題目只提供總量與人數，尚不能直接認定實際排班時每位老師都恰好輪值30天。 二、資料修正：看總和增加或減少多少 當資料筆數不變，只有某一筆資料登記錯誤時，不必重算所有資料，只要追蹤修正前後的總和差異。 新平均數＝原平均數＋（正確值－誤記值）÷資料筆數。 例如某組有30筆資料，原平均數為150，某筆正確值為168，卻誤記為162。修正後總和增加168－162＝6，因此平均數增加6÷30＝0.2，新平均數為150.2。 修正情況總和變化平均數變化 正確值大於誤記值增加增加 正確值小於誤記值減少減少 正確值等於誤記值不變不變 若只問平均數變大或變小，判斷「正確值－誤記值」的正負即可，不需要算出新平均數的確切值，也不會因為「不知道其他人的身高」而變成資料不足。上述公式的前提是資料筆數不變；若增加或刪除資料，必須連分母一起調整。 三、時間平均：統一單位，再比較快慢 以多次賽跑紀錄比較平均表現時，應分別計算每位選手的算術平均用時。若每位選手各有四次紀錄，則平均用時＝四次用時總和÷4。 時間若同時使用「分」與「秒」，應先換成同一單位。1分＝60秒，例如2分24秒＝144秒，不能把2分24秒當成2.24分，也不能當成224秒。 例如某選手四次用時為144、148、146、150秒，平均為（144＋148＋146＋150）÷4＝147秒，即2分27秒。將各選手的平均用時列出後，選擇平均用時最少者。 相同距離下，用時越少代表越快。若各選手的紀錄次數相同，直接比較總用時，也會得到與比較平均用時相同的排序；次數不同時，則不能只比總用時。 依平均表現選代表，必須納入全部指定紀錄，不能只看某一次最快成績，也不能只看最近一次或進步幅度。作答時依紀錄表逐一換算、加總、求平均，再寫出比較結果與選擇理由。 四、平均數與資料範圍：哪些敘述一定成立？ 對一組非空的數值資料，必有最小值≤平均數≤最大值。因此，至少有一筆資料不低於平均數，也至少有一筆資料不高於平均數。 理由是：如果每一筆都小於平均數，它們的總和就會小於「平均數×筆數」，與平均數的定義矛盾；每一筆都大於平均數也同樣不可能。 敘述是否必然成立判斷關鍵 至少一筆不低於平均數是最大值必定大於或等於平均數 至少一筆不高於平均數是最小值必定小於或等於平均數 至少一筆恰好等於平均數否平均數不一定是原始資料之一 平均數必定等於中位數否兩者的計算方式不同 高於與低於平均數的資料各占一半否平均數平衡的是差額總和，不是筆數 例如資料為10、10、10、30，平均數為15，卻沒有任何一筆等於15；中位數為10，高於平均數的只有一筆，低於平均數的有三筆。這組資料即可反駁多種看似合理、其實不一定成立的敘述。 還要分清楚「不低於」包含相等，「高於」不包含相等。若所有資料都相同，便沒有任何一筆嚴格高於或低於平均數，但每一筆都同時符合不低於及不高於平均數。 五、平均數結合大小限制：推算未知量範圍 這類題目先用平均數還原總量，再扣除已知部分，得到未知量之間的關係。若有兩個未知量，即使無法求出唯一數值，仍可能利用大小限制判斷選項。 例如某家庭6人平均體重為50公斤，總體重為6×50＝300公斤。已知其中4人的體重合計為180公斤，則其餘兩人的體重合計為120公斤。設兩人分別為甲、乙，便有甲＋乙＝120。 若甲小於45公斤，則乙＝120－甲，必定大於75公斤。因為甲越輕，乙就必須越重，才能維持固定總量。 判斷「可能是多少」時，可先排除不符合範圍的選項，再代回檢查。例如乙若為80公斤，甲就是40公斤，符合甲小於45公斤；乙若為75公斤，甲就是45公斤，便不符合「小於」的限制。 計算已知部分時，要把題目中每一位都算進去，尤其是「兩人體重都是某數」這類敘述，必須乘以2，不能只加一次。 常考陷阱 把單筆修正量當成平均數修正量：某筆增加6，代表總和增加6；平均數只增加「6÷資料筆數」。 弄反誤記方向：應計算「正確值－誤記值」。原本把數值記小，修正後平均數就會上升。 誤選「資料不足」：只問平均數增減方向時，知道正確值與誤記值的差即可判斷，不需要其他資料。 漏算每天同時需要的人數：多個路口每天都要有人，總需求應為「每天需求人數×天數」，再除以老師人數。 把平均數當成必定出現的數值：平均買價為某金額，不代表一定有一件商品恰好以該金額購入。 以為平均數會把資料分成兩半：排序後的中央位置與中位數有關；平均數不能保證上下各有一半資料。 混淆「至少」與「恰好」：至少一筆不低於平均數是必然性質，恰好一半高於平均數則不是。 時間直接當小數相加：分與秒採60進位，應先統一成秒；最後若要換回分秒，再以60換算。 賽跑選平均數較大者：比較的是完成相同距離所需時間，平均用時越小越好。 將嚴格不等式改成包含等號：已知某人「小於」某體重，推得另一人的下限通常是「大於」，邊界值不能選。 已知部分漏加：題目寫「兩人都是某數」時要乘以2，漏加會讓總量差額算錯。 記憶口訣 平均乘人數，總量先還原；修正看差額，再除資料數。時間先同單位，跑步用時少；平均夾兩端，不必在其中。總量若固定，一少另一多；小於不含等，代回再確認。