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學習重點 用平方和求最小值時，要同時找出下界與等號成立條件。每一項平方都非負，但各平方項不一定能同時等於零。 多變數二次式要先觀察結構，再決定是否展開。若各平方內的式子相加後是常數，就能轉成定和條件下的平方和問題。 兩圓外切時，圓心距等於兩半徑之和。面積和等於兩半徑平方和乘以 π，兩半徑相等時面積和最小。 正數乘積固定時，使用算術幾何平均不等式。加權和要比較完整的兩項，等號條件也要把係數算進去。 核心觀念 一、平方和的下界：每項非負，不代表最小值是零 對任意實數 a，都有 a²≥0，而且只有 a＝0 時等號成立。所以若 G＝A²＋B²＋C²，一開始只能得到 G≥0。要說最小值是零，必須確認 A＝B＝C＝0 能同時成立。 當 A、B、C 由相同的變數組成時，三者會互相牽動，不能當成三個可以各自任意選取的數。解題關鍵是：先找出各式之間的限制，再求這個限制下的最小值。 二、平方內的式子和為定值：使用平方和不等式 對任意實數 A、B、C，有下列恆等式： 3(A²＋B²＋C²)－(A＋B＋C)²＝(A－B)²＋(B－C)²＋(C－A)²≥0。 因此 A²＋B²＋C²≥(A＋B＋C)²／3，等號成立的充要條件是 A＝B＝C。這個不等式對所有實數都成立，不要求 A、B、C 為正數。 例如令 A＝x＋y－1、B＝2x－2y＋1、C＝－3x＋y＋5。三式相加時，x 的係數 1＋2－3＝0，y 的係數 1－2＋1＝0，常數項為 －1＋1＋5＝5，所以 A＋B＋C＝5。於是平方和至少為 5²／3＝25／3，等號成立時 A＝B＝C＝5／3。 由 A＝5／3 得 x＋y＝8／3，由 B＝5／3 得 x－y＝1／3，解得 x＝3／2、y＝7／6。代回 C 得 －9／2＋7／6＋5＝5／3，三式都等於 5／3。確認 25／3 能取到之後，才能說它是最小值。 這類題目的固定流程：觀察平方內各式的和 → 套用平方和下界 → 列出各式相等的條件 → 解出變數並確認可行。 三、配方法：把「非負的部分」和「最小值」分開 如果看不出定和結構，可以先展開二次式，再配成「若干非負平方項＋常數」。只要所有平方項能同時為零，剩下的常數就是最小值。 以上面的平方和為例，展開後得 14x²－12xy＋6y²－28x＋4y＋27。令 u＝x－3／2、v＝y－7／6，可整理成： G＝14(u－3v／7)²＋(24／7)v²＋25／3。 兩個平方項的係數都是正數，所以 G≥25／3；當 u＝v＝0，也就是 x＝3／2、y＝7／6 時等號成立。配方法和平方和不等式的結果相同，選擇計算較短的方法即可。選擇題要注意選項中的 25 與 25／3，兩者不要混淆。 四、兩圓外切：和為定值時，兩數相等則平方和最小 設兩圓半徑為 r、s，圓心距（連心線長）為 d。兩圓外切時，兩圓心與切點共線，且切點在兩圓心之間，所以 r＋s＝d。 兩圓面積和 S＝πr²＋πs²＝π(r²＋s²)。由恆等式 r²＋s²＝[(r＋s)²＋(r－s)²]／2＝d²／2＋(r－s)²／2， 可知 S≥πd²／2，當 r＝s＝d／2 時面積和最小。此時每一個圓的面積是 πd²／4，兩圓相加才是 πd²／2。 作答時，把題目給定的連心線長代入 πd²／2 即可。答案要以 π 表示時就保留 π，不要改用近似值。 申論題作答建議寫出以下步驟： 設兩圓半徑為 r、s（r、s＞0），由外切得 r＋s＝d。 列出面積和 S＝π(r²＋s²)。 用配方或平方和不等式說明 r²＋s²≥(r＋s)²／2＝d²／2。也可以把 s＝d－r 代入，得 r²＋(d－r)²＝2(r－d／2)²＋d²／2。 寫出等號成立條件 r＝s＝d／2，並說明它符合半徑為正。 寫出最小值 πd²／2，代入題目數值後化簡。 五、正數乘積為定值：加權和使用算術幾何平均不等式 對正數 a、b，有 a＋b≥2√(ab)，等號成立若且唯若 a＝b。因此，若 x＞0、y＞0、xy＝k，且 α、β 都是正數，則： αx＋βy≥2√(αβxy)＝2√(αβk)。 這裡比較的是 αx 與 βy 兩項，所以等號條件是 αx＝βy，不能直接寫成 x＝y。再和 xy＝k 聯立，就能求出取得最小值時的變數。 例如 xy＝9 時，x＋4y 的兩項是 x 與 4y，乘積為 4xy＝36，所以 x＋4y≥2√36＝12。等號要求 x＝4y，與 xy＝9 聯立得 4y²＝9，所以 y＝3／2、x＝6，符合正數條件，故最小值為 12。 六、定和與定積的比較 已知條件目標式與結論等號成立條件 實數 a＋b＝sa²＋b²≥s²／2a＝b＝s／2 實數 A＋B＋C＝tA²＋B²＋C²≥t²／3A＝B＝C＝t／3 正數 ab＝pa＋b≥2√pa＝b＝√p 正數 xy＝kαx＋βy≥2√(αβk)，其中 α、β＞0αx＝βy 常考陷阱 「平方項都非負，所以最小值是零」：非負只能提供下界。各平方內的式子若不能同時為零，就取不到零。 「找到下界就直接作答」：下界不一定取得到，必須解出等號條件，並確認符合原本的限制。多個式子含有共同變數時尤其要檢查。 「和為 5，所以平方和至少為 25」：三項平方和的正確下界是 5²／3＝25／3。不要漏掉項數，也不要把「平方和」和「和的平方」混為一談。 「實數都能直接使用算術幾何平均」：算術幾何平均不等式以正數為條件；平方和不等式則適用於任意實數，兩者的適用範圍不同。 「外切的圓心距是半徑差」：外切用半徑和，內切才用兩半徑差的絕對值。幾何條件列錯，後面的極值計算也會跟著錯。 「半徑和固定，所以面積和也固定」：固定的是 r＋s，面積和取決於 r²＋s²，兩者不同。兩半徑越接近，面積和越小。 「每個圓的最小面積是 πd²／2」：πd²／2 是兩圓的面積和；半徑相等時，單一圓的面積是 πd²／4。 「xy＝9，所以 x＋4y 的最小值也是 6」：6 是 x＋y 的最小值。係數 4 必須一起放進乘積，不能省略。 「加權和在 x＝y 時最小」：應讓相加的完整兩項相等。x＋4y 要用 x＝4y，不是 x＝y。 記憶口訣 「平方先看能否零，定和平均平方低；定積正數用算幾，加權相等帶係數。」 「外切半徑和，面積看平方；下界算出後，等號驗一遍。」