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學習重點 先統一時間，再處理倍數：題目給的是某一年的年齡，倍數關係卻發生在另一年時，必須先換算到倍數關係成立的那一年，才能列式。 每過一年，每個人都增加一歲：往後推幾年就加幾歲，往前推幾年就減幾歲。兩個年份相隔幾年，直接用年份相減。 兩人同時增減相同歲數，年齡差不變：兩人的年齡和會改變，年齡比通常也會改變，解題時要抓住「差不變」。 看懂代數式的時間意義：括號內通常表示先換算到倍數關係成立的年份，括號外再加上從那年到目標年經過的年數。 核心觀念 一、年齡與年份的基本換算 年齡問題通常在同一年度比較，依「每經過一年，年齡增加一歲」列式。若某人在基準年為 x 歲，則往後 t 年為 x＋t 歲，往前 t 年為 x－t 歲。題目沒有提供生日等細節時，依這個年度模型作答，不要自行加入生日是否已過的條件。 比較時間與基準年的關係年齡表示 基準年已知年齡x 基準年之後 t 年增加 t 歲x＋t 基準年之前 t 年減少 t 歲x－t 例如，某人在2010年為 x 歲，則2006年為 x－4 歲，2030年為 x＋20 歲。兩年之間的時間長度，直接用後面的年份減前面的年份計算。不要因為起點和終點都出現在題目中，就額外加一。 二、跨年份倍數題：回到關係成立的年份 「某年甲的年齡是乙的兩倍」的意思是：在同一年中，甲的年齡＝2×乙的年齡。如果 x 代表的是乙在另一個年份的年齡，就不能直接把甲寫成 2x，必須先算出乙在指定年份的年齡。 設乙在基準年為 x 歲，基準年往前 a 年時，甲的年齡是乙的 k 倍。要求基準年往後 b 年時甲的年齡，可依下列順序處理： 倍數關係成立時，乙為 x－a 歲。 同一時點，甲為 k(x－a) 歲。 從該時點到目標年，共經過 a＋b 年。 甲在目標年為 k(x－a)＋(a＋b) 歲。 當倍數為2時，上式可化簡為 2x－2a＋a＋b＝2x－a＋b。這個結果可用來檢查答案，但作答時建議先寫出有時間意義的原式，比較不容易把年數加錯。 例如，乙在2010年為 x 歲，2006年時甲是乙的兩倍，求2030年甲的年齡。乙在2006年為 x－4 歲，甲為 2(x－4) 歲；2006年至2030年相隔24年，因此甲為 2(x－4)＋24＝2x＋16 歲。 括號同時表示運算順序與時間順序。2(x－4) 是先把乙的年齡往前推4年，再取兩倍；不能寫成 2x－4。後者把「先減再乘」誤寫成「先乘再減」，代表的年齡關係並不相同。 代數驗算法：選項形式不同時，可以代一個具體的 x 值檢查。例如令 x＝20，依題意實際算出甲在目標年的歲數，再把 x＝20 代入各選項，數值相同的就是正確答案。這個方法也能判斷未展開的式子和展開後的式子是否相等。 三、差不變：年齡問題最穩定的關係 設年長者現在為 A 歲，年幼者現在為 B 歲。經過 t 年後，兩人分別為 A＋t 歲和 B＋t 歲，年齡差為： (A＋t)－(B＋t)＝A－B 兩人增加相同的歲數，相減時新增的部分互相抵消，所以年齡差保持不變。往前推相同年數也一樣，但所討論的時間必須符合兩人都已出生等題意條件。 數量關係經過 t 年後判斷重點 年齡差A－B固定不變（差不變） 年齡和A＋B＋2t每年合計增加2歲，不是和不變 年齡比（倍數）(A＋t)：(B＋t)通常改變，不能沿用原來的倍數，不是比值不變 年齡積(A＋t)(B＋t)隨時間增加，不是積不變 因此，即使題目給的是「兩人年齡合起來是幾歲」，或問的是「幾年後成為幾倍」，判斷這類題目背後的恆定數量關係時，仍要看兩人同步增長所形成的差不變。不能只因題目出現「合起來」就判為和不變，也不能因出現「倍」就判為比值不變。 四、已知年齡和，求幾年後成為指定倍數 已知孩子現在 C 歲、親子年齡和為 S 歲時，先求出家長現在為 S－C 歲。設 t 年後家長的年齡是孩子的 k 倍，則： (S－C)＋t＝k(C＋t) 等號兩邊都必須是 t 年後的年齡，右邊的倍數要乘上孩子「當時的全部年齡」C＋t。當 k 大於1時，可整理為 t＝[S－(k＋1)C]÷(k－1)。 也可以直接利用差不變。設兩人年齡差為 D，當年長者是年幼者的 k 倍時，兩人的年齡差等於年幼者當時年齡的 k－1 倍，所以年幼者當時為 D÷(k－1) 歲。 兩倍關係特別好算：年長者是年幼者的兩倍時，年幼者當時的年齡恰好等於兩人的年齡差。用年齡差減去年幼者現在的年齡，就是還要經過的年數。例如孩子10歲、親子年齡和45歲，則家長35歲，年齡差25歲；孩子到25歲時家長為50歲，恰為兩倍，所以是15年後。若算出的 t 為負數，表示該倍數關係發生在過去，不能直接當作「幾年後」的答案。 常考陷阱 直接把另一人的年齡寫成 2x：先確認 x 所屬的年份和兩倍關係成立的年份是否相同。年份不同，就必須先把 x 換算到該年。 只減括號內的年數一次：2(x－a) 應展開為 2x－2a，不能寫成 2x－a。 從錯誤的年份開始加年數：已算出的是較早年份的年齡時，要加上「較早年份到目標年」的完整年數，不能只加「基準年到目標年」的年數。 年份差多算一：時間長度用年份相減求得，不要用包含首尾的「個數」算法。 認為以前是兩倍，以後仍是兩倍：兩人各增加相同歲數，不等於各乘上相同比例。固定不變的是年齡差，不是倍數。 看到年齡和就選和不變：題目給的年齡和只是某一時點的條件，兩人每過一年，年齡和就增加兩歲。 只替其中一人加上經過年數：求未來的倍數時，兩人的年齡都要加 t，並把年幼者的 C＋t 整體乘上倍數。 誤判未展開的選項：「k(x－a)＋經過年數」這種形式可能就是正確答案，不必展開才算完整。比較選項時可先化簡，或代入數值確認是否相等。 記憶口訣 先對年，再算倍；往前減，往後加；兩人同增，歲差不變。 和每年加二，倍數隨年改；恰好成兩倍，小者等於差。